Номер 11, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$.

Данная функция $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел: $1, 2, 3, \ldots$).
Преобразуем вид функции, используя свойство степени с отрицательным показателем: $y = \frac{1}{x^{2n-1}}$

Поскольку $n$ — натуральное число, показатель степени $k = 2n-1$ будет принимать значения:

• при $n=1$, $k=2(1)-1=1$, функция $y = \frac{1}{x}$
• при $n=2$, $k=2(2)-1=3$, функция $y = \frac{1}{x^3}$
• при $n=3$, $k=2(3)-1=5$, функция $y = \frac{1}{x^5}$

Таким образом, для любого натурального $n$ показатель степени $2n-1$ является положительным нечетным числом.

Поиск вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции. Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^{2n-1} = 0 \implies x = 0$ Найдем односторонние пределы в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2n-1}} = \frac{1}{(+0)^{2n-1}} = +\infty$ $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^{2n-1}} = \frac{1}{(-0)^{2n-1}} = -\infty$ (поскольку $2n-1$ — нечетное число) Так как пределы в точке $x=0$ равны бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Поиск горизонтальных асимптот

Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции при $x \to \pm\infty$. Найдем пределы: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2n-1}}$ Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $2n-1 \ge 1$. При $x \to \infty$, знаменатель $x^{2n-1} \to \infty$, следовательно, вся дробь стремится к нулю. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2n-1}} = 0$

Аналогично для $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2n-1}} = 0$ Так как пределы при $x \to \pm\infty$ существуют и равны 0, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонные асимптоты отсутствуют.

Ответ: Уравнения асимптот: $x=0$ (вертикальная асимптота) и $y=0$ (горизонтальная асимптота).