Номер 5, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Обладает ли график функции $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, симметрией?

Относительно чего?

Для того чтобы определить, обладает ли график функции $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, симметрией, необходимо исследовать эту функцию на четность и нечетность.

Функция является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Функция является нечетной, если выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)).

Рассмотрим показатель степени в заданной функции: $-(2n-1)$. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n=1, 2, 3, \ldots$), выражение $2n-1$ всегда является нечетным натуральным числом ($1, 3, 5, \ldots$). Следовательно, показатель степени $-(2n-1)$ является нечетным отрицательным целым числом для любого $n \in \mathbb{N}$.

Теперь проверим, как ведет себя функция $y(x) = x^{-(2n-1)}$ при замене аргумента $x$ на $-x$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:$y(-x) = (-x)^{-(2n-1)}$Это выражение можно записать в виде дроби:$y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n-1}}$

Так как степень $2n-1$ является нечетным числом, то для любого $x$ выполняется равенство $(-x)^{2n-1} = -x^{2n-1}$.Подставим это в наше выражение:$y(-x) = \frac{1}{-x^{2n-1}} = - \frac{1}{x^{2n-1}} = -x^{-(2n-1)}$

Сравнивая полученный результат с исходной функцией $y(x) = x^{-(2n-1)}$, мы видим, что:$y(-x) = -y(x)$

Это равенство является определением нечетной функции. Таким образом, функция $y = x^{-(2n-1)}$ является нечетной для любого натурального $n$. График любой нечетной функции обладает центральной симметрией относительно начала координат.

Ответ: Да, график функции обладает симметрией. Он симметричен относительно начала координат.