Номер 10, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;

б) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$;

в) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;

г) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$?

Для того чтобы определить верное утверждение, необходимо проанализировать свойства функции $y = x^{2n+1}$ при условии, что $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел).

Показатель степени в данной функции равен $k = 2n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, \ldots$), выражение $2n$ всегда является четным натуральным числом. Следовательно, выражение $k = 2n+1$ всегда будет нечетным натуральным числом, большим или равным 3.

Степенная функция вида $y = x^k$ с нечетным натуральным показателем $k$ является возрастающей на всей своей области определения, то есть на множестве всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$. Таким образом, функция возрастает как на промежутке $x > 0$, так и на промежутке $x < 0$.

Этот вывод можно подтвердить с помощью производной. Найдем производную функции $y(x) = x^{2n+1}$:

$y'(x) = (2n+1)x^{2n}$

Проанализируем знак производной:

• Коэффициент $(2n+1)$ является положительным числом, так как $n \in \mathbb{N}$.
• Выражение $x^{2n}$ имеет четный показатель степени $2n$, поэтому $x^{2n} \ge 0$ для всех действительных $x$. Равенство нулю достигается только при $x=0$.

Следовательно, производная $y'(x) \ge 0$ для всех $x$, причем $y'(x)=0$ только в одной точке. Это является достаточным условием для того, чтобы функция была строго возрастающей на всей числовой оси.

Теперь оценим каждое утверждение на основе этого вывода:

а) Утверждение неверно. Функция возрастает при $x < 0$, а не убывает.
Ответ: неверно.

б) Утверждение верно. Как было показано, функция возрастает на всей числовой оси, что включает в себя промежутки $x > 0$ и $x < 0$.
Ответ: верно.

в) Утверждение неверно. Функция возрастает при $x > 0$ и при $x < 0$, а не убывает.
Ответ: неверно.

г) Утверждение неверно. Функция возрастает при $x > 0$, а не убывает.
Ответ: неверно.