Номер 4, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Является ли функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

Чтобы определить, является ли функция $y = x^{2n}$, где $n \in N$, чётной или нечётной, необходимо проверить, как изменится значение функции при замене аргумента $x$ на $-x$.

Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим нашу функцию $f(x) = x^{2n}$.

1. Область определения. Данная функция является степенной, её область определения — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, что позволяет нам проверять функцию на чётность/нечётность.

2. Проверка. Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{2n}$

Используя свойство степеней $(a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$f(-x) = (-1)^{2n} \cdot x^{2n}$

По условию, $n$ является натуральным числом ($n \in N$), то есть $n$ принимает значения $1, 2, 3, \ldots$. Следовательно, показатель степени $2n$ всегда будет чётным натуральным числом (например, $2, 4, 6, \ldots$).

Число $-1$, возведённое в любую чётную степень, равно $1$. Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Подставим это значение обратно в наше выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = 1 \cdot x^{2n} = x^{2n}$

Теперь сравним полученный результат с исходной функцией $f(x) = x^{2n}$. Мы видим, что выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Функция $y = x^{2n}$, где $n \in N$, является чётной.