Номер 8, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Какова область значений функции $y = x^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$?

Для того чтобы найти область значений функции $y = x^{2n+1}$ при условии, что $n \in \mathbb{N}$, необходимо определить множество всех возможных значений, которые может принимать переменная $y$.

Сначала проанализируем показатель степени. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n=1, 2, 3, \ldots$), то выражение $2n$ всегда будет четным натуральным числом ($2, 4, 6, \ldots$). Следовательно, показатель степени $k = 2n+1$ всегда будет нечетным натуральным числом, большим или равным 3 ($k=3, 5, 7, \ldots$).

Таким образом, данная функция представляет собой степенную функцию с нечетным натуральным показателем, например $y=x^3$ (при $n=1$), $y=x^5$ (при $n=2$) и так далее.

Областью определения для любой степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел, то есть $x$ может быть любым числом от $-\infty$ до $+\infty$.

Рассмотрим, какие значения принимает $y$ в зависимости от $x$:

1. Если $x$ принимает любое положительное значение ($x>0$), то $y = x^{2n+1}$ также будет положительным. При $x \to +\infty$, значение $y$ также стремится к $+\infty$.

2. Если $x=0$, то $y = 0^{2n+1} = 0$.

3. Если $x$ принимает любое отрицательное значение ($x<0$), то $y = x^{2n+1}$ будет отрицательным, так как возведение отрицательного числа в нечетную степень сохраняет знак. При $x \to -\infty$, значение $y$ также стремится к $-\infty$.

Так как функция непрерывна на всей числовой оси и принимает как сколь угодно большие положительные значения, так и сколь угодно малые отрицательные значения, а также значение ноль, ее область значений охватывает все действительные числа.

Ответ: Областью значений функции является множество всех действительных чисел, что можно записать как $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.