Номер 5, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Обладает ли график функции $y = x^{2n+1}, n \in N$, симметрией?

Относительно чего?

Чтобы определить, обладает ли график функции симметрией, необходимо исследовать функцию на четность или нечетность.

Рассмотрим функцию $y(x) = x^{2n+1}$, где по условию $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Показатель степени в данной функции равен $2n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $2n$ — это всегда четное натуральное число. Следовательно, выражение $2n+1$ всегда будет нечетным натуральным числом (например, если $n=1$, то $2n+1=3$; если $n=2$, то $2n+1=5$, и так далее).

Таким образом, мы имеем дело со степенной функцией с нечетным натуральным показателем $k = 2n+1 \ge 3$.

Проверим функцию на нечетность. Функция является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. Область определения функции $y = x^{2n+1}$ — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^{2n+1}$

Так как показатель степени $2n+1$ является нечетным числом, то при возведении отрицательного основания в нечетную степень знак "минус" сохраняется:

$(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$

Сравним полученное выражение с $-y(x)$:

$-y(x) = -(x^{2n+1}) = -x^{2n+1}$

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$).

Ответ: Да, график функции $y = x^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$, обладает симметрией. Он симметричен относительно начала координат.