Номер 7, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Какова область значений функции $y = x^{2n}$, $n \in N$?

Для того чтобы найти область значений функции $y = x^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо определить, какие значения может принимать переменная $y$.

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Следовательно, показатель степени $2n$ является положительным чётным числом для любого $n \in \mathbb{N}$. Например, если $n=1$, то $y=x^2$; если $n=2$, то $y=x^4$; если $n=3$, то $y=x^6$, и так далее.

Рассмотрим свойства степенной функции с чётным натуральным показателем.

1. Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$, так как любое действительное число можно возвести в натуральную степень.

2. Проанализируем знак значения функции $y$. Мы можем переписать функцию как $y = (x^2)^n$.

• Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$. То есть $x^2 \ge 0$.
• Возведение неотрицательного числа ($x^2$) в натуральную степень ($n$) также даёт неотрицательный результат.
• Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$, значение $y = x^{2n}$ будет неотрицательным: $y \ge 0$.

3. Выясним, все ли неотрицательные значения достигаются.

• Если $x=0$, то $y = 0^{2n} = 0$. Значит, значение $0$ принадлежит области значений. Это минимальное значение функции.
• Если $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$, то $x^{2n}$ (из-за чётного показателя) стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху и может принимать сколь угодно большие положительные значения.

Таким образом, функция $y = x^{2n}$ принимает все значения от 0 (включительно) до плюс бесконечности.

Ответ: $[0, +\infty)$.