Номер 3, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Обладает ли график функции $y = x^{2n}, n \in N$, симметрией? Относительно чего?

Чтобы определить наличие и тип симметрии у графика функции $y = x^{2n}$, где $n \in N$, необходимо исследовать данную функцию на четность.

Напомним, что функция $y = f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим нашу функцию $f(x) = x^{2n}$.

1. Область определения. Функция является степенной, ее область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля.

2. Проверка условия четности. Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^{2n}$

По условию $n \in N$ (n — натуральное число), следовательно, показатель степени $2n$ всегда является положительным четным числом (например, 2, 4, 6 и т.д.). При возведении любого числа в четную степень результат всегда неотрицателен. В частности, для любого $x$:
$(-x)^{2n} = x^{2n}$

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = x^{2n}$. Сравнивая это с исходной функцией $f(x) = x^{2n}$, видим, что выполняется равенство:
$f(-x) = f(x)$

Поскольку оба условия определения четной функции выполняются, функция $y = x^{2n}$ является четной. Это означает, что ее график обладает симметрией.

Ответ: Да, график функции $y = x^{2n}$, где $n \in N$, обладает симметрией. Он симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).