Номер 6, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Сформулируйте алгоритм исследования функции на чётность.

Исследование функции $y = f(x)$ на чётность — это определение, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой (функцией общего вида). Для этого используется следующий алгоритм.

1. Найти область определения функции. Определить множество $D(f)$ всех допустимых значений аргумента $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл.

2. Проверить область определения на симметричность. Необходимо проверить, является ли область определения $D(f)$ симметричной относительно начала координат (точки $x=0$). Это означает, что для любого числа $x$ из области определения, противоположное ему число $-x$ также должно принадлежать этой области.

   Примеры симметричных областей: $(-\infty; +\infty)$, $(-5; 5)$, $[-10; 10]$.
   Примеры несимметричных областей: $[0; +\infty)$, $(-2; 3]$, $[-5; 4)$.

   Если область определения несимметрична, то функция является ни чётной, ни нечётной. На этом исследование завершается. Если область определения симметрична, следует перейти к следующему шагу.

3. Найти выражение для $f(-x)$. В формулу, задающую функцию $f(x)$, вместо каждого вхождения $x$ подставить $-x$. Затем необходимо упростить полученное выражение.

4. Сравнить $f(-x)$ с $f(x)$ и сделать вывод. Сравнить полученное на шаге 3 выражение для $f(-x)$ с исходным выражением $f(x)$ и с выражением $-f(x)$.

   • Если для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
   • Если для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, то функция является нечётной. График такой функции симметричен относительно начала координат (точки O(0;0)).
   • Если не выполняется ни одно из вышеперечисленных равенств, то есть $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Ответ:
Алгоритм исследования функции $y=f(x)$ на чётность состоит из следующих шагов:
1. Найти область определения функции $D(f)$.
2. Проверить, является ли область определения $D(f)$ симметричной относительно нуля. Если она несимметрична, то функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Если область определения симметрична, то необходимо найти значение функции при $-x$, то есть $f(-x)$.
4. Сравнить полученное значение с исходным:
- если $f(-x) = f(x)$, то функция чётная;
- если $f(-x) = -f(x)$, то функция нечётная;
- если ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной.