Номер 12, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Приведите пример аналитически заданной функции, непрерывной на некотором промежутке и такой, что:

а) у неё существуют на этом промежутке и наименьшее, и наибольшее значения;

б) у неё нет на этом промежутке ни наименьшего, ни наибольшего значения;

в) у неё на этом промежутке есть наименьшее, но нет наибольшего значения;

г) у неё на этом промежутке есть наибольшее, но нет наименьшего значения.

а) у неё существуют на этом промежутке и наименьшее, и наибольшее значения;
Согласно первой теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на замкнутом промежутке (отрезке), достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Поэтому для выполнения этого условия достаточно взять любую непрерывную функцию, заданную на отрезке.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на отрезке $[1, 2]$. Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, и в частности на отрезке $[1, 2]$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.

• Наименьшее значение достигается в левой границе отрезка: $y_{наим} = f(1) = 1^2 = 1$.
• Наибольшее значение достигается в правой границе отрезка: $y_{наиб} = f(2) = 2^2 = 4$.

Таким образом, на данном промежутке существуют и наименьшее, и наибольшее значения.
Ответ: функция $f(x) = x^2$ на промежутке $[1, 2]$.

б) у неё нет на этом промежутке ни наименьшего, ни наибольшего значения;
Чтобы у непрерывной функции не было ни наименьшего, ни наибольшего значения, её необходимо рассматривать на промежутке, который не является замкнутым, например, на открытом интервале. Значения функции на концах такого интервала должны быть её точной верхней (супремум) и точной нижней (инфимум) гранями, но сами эти значения не должны достигаться.
Рассмотрим простейшую линейную функцию $f(x) = x$ на открытом интервале $(0, 1)$.

• Функция непрерывна на этом интервале.
• Множеством значений функции на этом интервале является интервал $(0, 1)$.
• Точная нижняя грань (инфимум) значений функции равна 0, но не существует такого $x \in (0, 1)$, чтобы $f(x) = 0$. Следовательно, наименьшего значения нет.
• Точная верхняя грань (супремум) значений функции равна 1, но не существует такого $x \in (0, 1)$, чтобы $f(x) = 1$. Следовательно, наибольшего значения нет.

Другим примером может служить функция $f(x) = \tan(x)$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, которая не ограничена ни снизу, ни сверху.
Ответ: функция $f(x) = x$ на промежутке $(0, 1)$.

в) у неё на этом промежутке есть наименьшее, но нет наибольшего значения;
Для этого случая можно рассмотреть функцию на промежутке, который замкнут с одной стороны (где достигается минимум) и открыт с другой, либо на бесконечном промежутке.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$.

• Функция непрерывна на этом промежутке.
• В точке $x=0$ функция принимает своё наименьшее значение: $y_{наим} = f(0) = 0$.
• Функция не ограничена сверху, так как при $x \to +\infty$, значение $f(x) \to +\infty$. Это означает, что для любого числа $M > 0$ можно найти такое значение $x$, что $f(x) > M$. Следовательно, наибольшего значения у функции на этом промежутке нет.

Альтернативный пример: функция $f(x) = x$ на полуинтервале $[0, 1)$. Наименьшее значение $f(0)=0$, а наибольшего не существует, так как $f(x)$ стремится к 1, но не достигает этого значения.
Ответ: функция $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$.

г) у неё на этом промежутке есть наибольшее, но нет наименьшего значения.
Этот случай зеркален предыдущему. Необходимо рассмотреть функцию на таком промежутке, где она достигает своего максимума, но не ограничена снизу или стремится к инфимуму на открытом конце промежутка.
Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$ на промежутке $(-\infty, 0]$.

• Функция непрерывна на этом промежутке.
• В точке $x=0$ функция принимает своё наибольшее значение: $y_{наиб} = f(0) = -0^2 = 0$.
• Функция не ограничена снизу, так как при $x \to -\infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом промежутке нет.

Альтернативный пример: функция $f(x) = \sin(x)$ на полуинтервале $(0, \pi]$. Наибольшее значение $f(\pi/2) = 1$ достигается внутри промежутка. Наименьшего значения нет, так как инфимум функции равен 0, но он не достигается (при $x \to 0^+$ и $x \to \pi^-$ функция стремится к 0).
Ответ: функция $f(x) = -x^2$ на промежутке $(-\infty, 0]$.