Номер 9, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наименьшего значения.

Для того чтобы привести пример функции, которая на некотором промежутке ограничена снизу, но не имеет на нем наименьшего значения, необходимо найти такую функцию, значения которой стремятся к некоторой нижней границе, но никогда её не достигают.

Функция называется ограниченной снизу на промежутке, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из этого промежутка значение функции $f(x) \ge M$. Число $M$ называют нижней границей.

Функция не имеет наименьшего значения на промежутке, если для любой точки $x_0$ из этого промежутка найдется другая точка $x_1$ из того же промежутка, такая что $f(x_1) < f(x_0)$. Это означает, что точная нижняя грань (инфимум) значений функции на промежутке не достигается.

Такая ситуация часто возникает, когда промежуток, на котором рассматривается функция, является открытым или полуоткрытым.

Рассмотрим в качестве примера простую линейную функцию $f(x) = x$ на открытом промежутке $(1, 3)$.

Эта функция ограничена снизу на промежутке $(1, 3)$. Поскольку для любого $x$ из этого промежутка выполняется неравенство $x > 1$, то и $f(x) > 1$. Таким образом, число 1 (или любое число меньше 1) является нижней границей для данной функции на этом промежутке.

При этом функция не имеет наименьшего значения на промежутке $(1, 3)$. Множество значений функции на этом промежутке представляет собой интервал $(1, 3)$. Точная нижняя грань этого множества — 1. Однако ни при каком $x \in (1, 3)$ значение функции не будет равно 1. Мы можем подходить к значению 1 сколь угодно близко (например, $f(1.00001) = 1.00001$), но никогда его не достигнем. Для любого значения $f(x_0)$ можно найти значение $f(x_1)$ еще меньше, взяв $x_1$ ближе к 1, чем $x_0$. Следовательно, наименьшее значение отсутствует.

Графически эта функция на заданном промежутке выглядит как отрезок прямой $y=x$, у которого концы, соответствующие точкам $(1, 1)$ и $(3, 3)$, исключены ("выколоты").

На графике показана функция $y=x$ на промежутке $(1, 3)$. Синий отрезок — это график функции. Белые ("выколотые") кружки на концах отрезка в точках $(1, 1)$ и $(3, 3)$ показывают, что эти точки не принадлежат графику.

Ответ: Примером функции, ограниченной снизу на некотором промежутке, но не имеющей на нем наименьшего значения, является функция $f(x) = x$, рассмотренная на открытом промежутке, например, $x \in (1, 3)$. На этом промежутке функция ограничена снизу числом 1 (так как $f(x) > 1$ для всех $x \in (1, 3)$), но наименьшее значение не достигается, поскольку значения функции могут быть сколь угодно близки к 1, но никогда не равны ему. Графическое представление данной функции на указанном промежутке приведено на рисунке выше.