Номер 4, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Как, глядя на график функции, установить, является ли она:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной снизу, нужно проверить, существует ли горизонтальная прямая, ниже которой нет ни одной точки графика.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех значений $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Число $m$ называют нижней границей функции.

Геометрически это означает, что можно провести горизонтальную прямую $y=m$ таким образом, что весь график функции будет расположен не ниже этой прямой. Если такая прямая существует, функция ограничена снизу.

Ответ: Функция является ограниченной снизу, если её график целиком лежит выше некоторой горизонтальной прямой.

б) ограниченной сверху

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной сверху, нужно проверить, существует ли горизонтальная прямая, выше которой нет ни одной точки графика.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех значений $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Число $M$ называют верхней границей функции.

Геометрически это означает, что можно провести горизонтальную прямую $y=M$ таким образом, что весь график функции будет расположен не выше этой прямой. Если такая прямая существует, функция ограничена сверху.

Ответ: Функция является ограниченной сверху, если её график целиком лежит ниже некоторой горизонтальной прямой.

в) ограниченной

Функция называется ограниченной, если она одновременно ограничена и снизу, и сверху. Чтобы установить это по графику, нужно проверить, можно ли заключить весь график функции в горизонтальную полосу конечной ширины.

Формально, функция $y=f(x)$ является ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.

Геометрически это означает, что весь график функции находится между двумя горизонтальными прямыми $y=m$ и $y=M$. Если можно найти такую "полосу", в которой лежит весь график, то функция является ограниченной.

Ответ: Функция является ограниченной, если её график целиком можно заключить в горизонтальную полосу между двумя прямыми.