Номер 6, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию, областью определения которой является отрезок $ [-2; 4] $ и график которой состоит из части параболы и отрезка прямой. Задайте эту функцию аналитически.

Для построения требуемой кусочно-заданной функции необходимо определить две части: параболическую и линейную, а также точку, в которой они соединяются, обеспечивая непрерывность. Область определения функции — отрезок $[-2; 4]$.

Выберем точку "сшивки" внутри этого отрезка, например, $x_0 = 1$. Пусть на первом участке, от $-2$ до $1$ включительно, функция будет задана параболой, а на втором, от $1$ до $4$, — отрезком прямой.

В качестве параболы выберем наиболее простую: $y = x^2$. Таким образом, для $x \in [-2; 1]$ наша функция будет $f(x) = x^2$.

Для того чтобы функция была непрерывной в точке $x = 1$, значение параболы в этой точке должно совпадать со значением прямой. Найдем это значение: $f(1) = 1^2 = 1$. Следовательно, точка соединения двух частей графика — это $(1; 1)$.

Теперь определим уравнение прямой $y = kx + b$. Мы знаем, что она должна проходить через точку $(1; 1)$. Также она определена на интервале до $x=4$. Для простоты выберем значение функции на правом конце отрезка, например, пусть $f(4) = 4$. Таким образом, наш отрезок прямой соединяет точки $(1; 1)$ и $(4; 4)$.

Найдем коэффициенты прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент (наклон) $k$ равен: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$.

Подставим $k=1$ и координаты точки $(1; 1)$ в уравнение прямой $y = kx + b$, чтобы найти $b$: $1 = 1 \cdot 1 + b \implies b = 0$.

Таким образом, уравнение прямой — это $y = x$. Эта часть функции определена на интервале $(1; 4]$.

Собирая все вместе, мы получаем итоговую аналитическую запись для нашей кусочно-непрерывной функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ x, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$