Страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Приведите пример аналитического задания функции (с помощью одной формулы).

1. Аналитический способ задания функции — это способ, при котором зависимость между аргументом (независимой переменной) и значением функции (зависимой переменной) выражается с помощью одной или нескольких математических формул. Этот способ является одним из основных в математическом анализе, так как он точно и однозначно определяет правило вычисления значения функции для любого значения аргумента из области определения.

Задание функции одной формулой означает, что для всей области определения используется единое математическое выражение. Например, рассмотрим квадратичную функцию. Общая формула такой функции: $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, и $a \neq 0$.

Приведем конкретный пример. Пусть $a = 1, b = -4, c = 3$. Тогда функция будет задана следующей формулой:

$y = x^2 - 4x + 3$

Эта формула позволяет для любого действительного числа $x$ (поскольку область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$) вычислить соответствующее ему значение $y$.

Например:

• Если $x=0$, то $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$.
• Если $x=2$, то $y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
• Если $x=5$, то $y = 5^2 - 4 \cdot 5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$.

Другими простыми примерами аналитического задания функции могут быть:

• Линейная функция: $y = 2x + 5$
• Степенная функция: $y = \sqrt{x}$
• Тригонометрическая функция: $y = \sin(x)$
• Показательная функция: $y = 10^x$

Каждая из этих формул является корректным примером аналитического задания функции.

Ответ: $y = 7x - 2$.

2. Приведите пример аналитического задания кусочной функции.

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая задаётся разными формулами на разных промежутках своей области определения. Аналитический способ задания такой функции как раз и состоит в том, чтобы указать эти формулы и соответствующие им промежутки (условия).

Стандартная форма аналитического задания кусочной функции использует систему с фигурной скобкой, которая объединяет несколько выражений.

Приведём пример. Пусть функция $y = f(x)$ задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \le -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 2 - x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Такая запись означает, что для вычисления значения функции нужно сначала определить, какому из трёх промежутков принадлежит аргумент $x$, а затем применить соответствующую формулу:
• Для всех значений $x$ на промежутке $(-\infty, -1]$, то есть $x \le -1$, значение функции вычисляется как $f(x) = x^2 + 2x$. Графиком на этом участке будет часть параболы.
• Для всех значений $x$ на интервале $(-1, 1)$, то есть $-1 < x < 1$, значение функции является константой и равно $1$. Графиком будет горизонтальный отрезок (без конечных точек).
• Для всех значений $x$ на промежутке $[1, +\infty)$, то есть $x \ge 1$, значение функции вычисляется как $f(x) = 2 - x$. Графиком будет луч прямой линии.

Таким образом, мы полностью определили функцию для любого действительного числа $x$ с помощью набора из трёх формул, каждая из которых применяется к своему "куску" числовой оси.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \le -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 2 - x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

3. Приведите пример графического задания функции.

Графическое задание функции — это способ представления функции, при котором её задают с помощью графика. Графиком функции $y = f(x)$ называют множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$ из области определения функции, а ординаты — соответствующим значениям функции $y$.

Этот способ очень нагляден и позволяет "увидеть" свойства функции: её область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули функции, точки экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию, заданную аналитически (формулой) $y = x^2 - 1$. Чтобы задать её графически, необходимо построить её график в прямоугольной системе координат.

Для этого составим таблицу значений для нескольких точек:
- при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Точка $(-2, 3)$.
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
- при $x = 0$, $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- при $x = 1$, $y = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
- при $x = 2$, $y = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим кривую, которая называется параболой. Эта парабола, с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями, направленными вверх, и является графическим заданием функции $y = x^2 - 1$.

С помощью этого графика можно для любого значения аргумента $x$ найти соответствующее ему значение функции $y$. Например, взяв на оси $x$ значение $x=1.5$, мы можем найти на графике соответствующую точку и определить её ординату, которая будет равна $y = (1.5)^2 - 1 = 2.25 - 1 = 1.25$.

Ответ: Примером графического задания функции является парабола, построенная в системе координат $xOy$. Данная парабола является множеством всех точек, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют уравнению $y = f(x)$. Например, график функции $y = x^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Приведите пример графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции. Объясните почему.

В качестве примера графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции, можно привести любую окружность. Например, рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $R=5$, которая задается уравнением $x^2 + y^2 = 25$.

Объяснение

Согласно определению, функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

Для графика окружности $x^2 + y^2 = 25$ это условие не выполняется. Возьмем, к примеру, значение аргумента $x=3$. Подставим его в уравнение:
$3^2 + y^2 = 25$
$9 + y^2 = 25$
$y^2 = 16$

Это уравнение имеет два решения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, одному значению аргумента $x=3$ соответствуют два различных значения $y$: $4$ и $-4$. Это прямо противоречит определению функции.

Геометрически это можно проверить с помощью «теста вертикальной линией». Если можно провести вертикальную прямую (прямую вида $x = const$), которая пересекает график более чем в одной точке, то этот график не является графиком функции. В нашем случае прямая $x=3$ пересекает окружность в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

Ответ: Примером графика, не являющегося графиком функции, может служить окружность, заданная уравнением $x^2+y^2=R^2$ (например, $x^2+y^2=25$). Этот график не является функцией, потому что для некоторых значений аргумента $x$ (для всех $x$ из интервала $(-R, R)$) существует более одного соответствующего значения $y$.

5. Приведите пример словесно заданной функции (отличный от примеров 1 и 2 из § 9).

Словесно заданная функция — это правило, описанное словами, которое каждому значению независимой переменной (аргументу) из некоторого множества ставит в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции).

Рассмотрим следующий пример функции, заданной словесно:

Каждому натуральному числу ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи.

В данном случае:

• Независимая переменная $x$ — это натуральное число.
• Зависимая переменная $y$ (или $f(x)$) — это сумма цифр числа $x$.
• Область определения функции — это множество всех натуральных чисел, то есть $D(f) = \mathbb{N}$.

Это правило действительно задает функцию, поскольку для каждого натурального числа $x$ можно однозначно найти сумму его цифр. Не существует такого натурального числа, которому соответствовало бы два или более разных значения суммы его цифр.

Например:

• Если аргумент $x = 15$, то значение функции $y = 1 + 5 = 6$.
• Если аргумент $x = 247$, то значение функции $y = 2 + 4 + 7 = 13$.
• Если аргумент $x = 1000$, то значение функции $y = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$.

Таким образом, мы привели пример функции, заданной словесным способом, который с высокой вероятностью отличается от стандартных примеров в учебнике.

Ответ: Каждому натуральному числу ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи.

6. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию, областью определения которой является отрезок $ [-2; 4] $ и график которой состоит из части параболы и отрезка прямой. Задайте эту функцию аналитически.

Для построения требуемой кусочно-заданной функции необходимо определить две части: параболическую и линейную, а также точку, в которой они соединяются, обеспечивая непрерывность. Область определения функции — отрезок $[-2; 4]$.

Выберем точку "сшивки" внутри этого отрезка, например, $x_0 = 1$. Пусть на первом участке, от $-2$ до $1$ включительно, функция будет задана параболой, а на втором, от $1$ до $4$, — отрезком прямой.

В качестве параболы выберем наиболее простую: $y = x^2$. Таким образом, для $x \in [-2; 1]$ наша функция будет $f(x) = x^2$.

Для того чтобы функция была непрерывной в точке $x = 1$, значение параболы в этой точке должно совпадать со значением прямой. Найдем это значение: $f(1) = 1^2 = 1$. Следовательно, точка соединения двух частей графика — это $(1; 1)$.

Теперь определим уравнение прямой $y = kx + b$. Мы знаем, что она должна проходить через точку $(1; 1)$. Также она определена на интервале до $x=4$. Для простоты выберем значение функции на правом конце отрезка, например, пусть $f(4) = 4$. Таким образом, наш отрезок прямой соединяет точки $(1; 1)$ и $(4; 4)$.

Найдем коэффициенты прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент (наклон) $k$ равен: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$.

Подставим $k=1$ и координаты точки $(1; 1)$ в уравнение прямой $y = kx + b$, чтобы найти $b$: $1 = 1 \cdot 1 + b \implies b = 0$.

Таким образом, уравнение прямой — это $y = x$. Эта часть функции определена на интервале $(1; 4]$.

Собирая все вместе, мы получаем итоговую аналитическую запись для нашей кусочно-непрерывной функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ x, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

16.14 а) 2, 5, 8, 11, ...;

б) 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, ...;

в) 7, 5, 3, 1, ...;

г) $-1, -1\frac{1}{7}, -1\frac{2}{7}, -1\frac{3}{7}, \dots$

а)

Данная последовательность: $2, 5, 8, 11, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$.

Убедимся, что разность постоянна: $a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим найденные значения $a_1 = 2$ и $d = 3$ в формулу:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3$

Теперь упростим выражение:

$a_n = 2 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 1$

Ответ: $a_n = 3n - 1$

б)

Данная последовательность: $0,5; 1,5; 2,5; 3,5; \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 0,5$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 1,5 - 0,5 = 1$.

Проверим: $a_3 - a_2 = 2,5 - 1,5 = 1$.

Используем общую формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1 = 0,5$ и $d = 1$:

$a_n = 0,5 + (n-1) \cdot 1$

Упростим выражение:

$a_n = 0,5 + n - 1$

$a_n = n - 0,5$

Ответ: $a_n = n - 0,5$

в)

Данная последовательность: $7, 5, 3, 1, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 7 = -2$.

Проверим: $a_3 - a_2 = 3 - 5 = -2$.

Используем общую формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1 = 7$ и $d = -2$:

$a_n = 7 + (n-1) \cdot (-2)$

Упростим выражение:

$a_n = 7 - 2n + 2$

$a_n = 9 - 2n$

Ответ: $a_n = 9 - 2n$

г)

Данная последовательность: $-1, -1\frac{1}{7}, -1\frac{2}{7}, -1\frac{3}{7}, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = -1$.

Найдем разность прогрессии $d$. Для этого сначала найдем второй член $a_2 = -1\frac{1}{7}$.

$d = a_2 - a_1 = -1\frac{1}{7} - (-1) = -1\frac{1}{7} + 1 = -\frac{1}{7}$.

Проверим для следующей пары членов, представив их в виде неправильных дробей: $a_3 = -1\frac{2}{7} = -\frac{9}{7}$, $a_2 = -1\frac{1}{7} = -\frac{8}{7}$.

$d = a_3 - a_2 = -\frac{9}{7} - (-\frac{8}{7}) = -\frac{9}{7} + \frac{8}{7} = -\frac{1}{7}$.

Используем общую формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1 = -1$ и $d = -\frac{1}{7}$:

$a_n = -1 + (n-1) \cdot (-\frac{1}{7})$

Упростим выражение:

$a_n = -1 - \frac{n-1}{7}$

$a_n = -\frac{7}{7} - \frac{n-1}{7} = \frac{-7-(n-1)}{7} = \frac{-7-n+1}{7} = \frac{-6-n}{7}$

$a_n = -\frac{n+6}{7}$

Ответ: $a_n = -\frac{n+6}{7}$

16.15 a) 4, -2, -8, -14, -20, ...;

б) -0,7, -0,5, -0,3, -0,1, 0,1, ...;

в) -7, -2, 3, 8, 13, ...;

г) $-2\sqrt{5}, -\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}, 2\sqrt{5}, \dots$

а) Чтобы определить, является ли последовательность 4, -2, -8, -14, -20, ... арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между соседними членами постоянной величиной.

Обозначим члены последовательности как $a_1 = 4, a_2 = -2, a_3 = -8$ и так далее.

Найдем разности между последовательными членами:

$d = a_2 - a_1 = -2 - 4 = -6$

$d = a_3 - a_2 = -8 - (-2) = -8 + 2 = -6$

$d = a_4 - a_3 = -14 - (-8) = -14 + 8 = -6$

$d = a_5 - a_4 = -20 - (-14) = -20 + 14 = -6$

Так как разность между каждым последующим и предыдущим членом последовательности постоянна и равна -6, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = -6$.

б) Проверим последовательность -0,7, -0,5, -0,3, -0,1, 0,1, ...

Обозначим члены последовательности как $a_1 = -0,7, a_2 = -0,5, a_3 = -0,3$ и так далее.

Найдем разности между последовательными членами:

$d = a_2 - a_1 = -0,5 - (-0,7) = -0,5 + 0,7 = 0,2$

$d = a_3 - a_2 = -0,3 - (-0,5) = -0,3 + 0,5 = 0,2$

$d = a_4 - a_3 = -0,1 - (-0,3) = -0,1 + 0,3 = 0,2$

$d = a_5 - a_4 = 0,1 - (-0,1) = 0,1 + 0,1 = 0,2$

Разность между членами постоянна и равна 0,2. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 0,2$.

в) Проверим последовательность -7, -2, 3, 8, 13, ...

Обозначим члены последовательности как $a_1 = -7, a_2 = -2, a_3 = 3$ и так далее.

Найдем разности между последовательными членами:

$d = a_2 - a_1 = -2 - (-7) = -2 + 7 = 5$

$d = a_3 - a_2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$

$d = a_4 - a_3 = 8 - 3 = 5$

$d = a_5 - a_4 = 13 - 8 = 5$

Разность между членами постоянна и равна 5. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 5$.

г) Проверим последовательность $-2\sqrt{5}, -\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}, 2\sqrt{5}, ...$

Обозначим члены последовательности как $a_1 = -2\sqrt{5}, a_2 = -\sqrt{5}, a_3 = 0$ и так далее.

Найдем разности между последовательными членами:

$d = a_2 - a_1 = -\sqrt{5} - (-2\sqrt{5}) = -\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$

$d = a_3 - a_2 = 0 - (-\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

$d = a_4 - a_3 = \sqrt{5} - 0 = \sqrt{5}$

$d = a_5 - a_4 = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

Разность между членами постоянна и равна $\sqrt{5}$. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = \sqrt{5}$.

16.16 Дана арифметическая прогрессия ($a_n$). Вычислите:

а) $a_6$, если $a_1 = 4, d = 3;

б) $a_{15}$, если $a_1 = -15, d = -5;

в) $a_{17}$, если $a_1 = -12, d = 2;

г) $a_9$, если $a_1 = 101, d = \frac{1}{2}.

Для решения всех подпунктов используется формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — искомый член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер искомого члена, $d$ — разность прогрессии.

а) Необходимо вычислить $a_6$, если $a_1 = 4$ и $d = 3$.
Подставляем в формулу значения $n=6$, $a_1=4$ и $d=3$:
$a_6 = 4 + (6-1) \cdot 3$
$a_6 = 4 + 5 \cdot 3$
$a_6 = 4 + 15$
$a_6 = 19$.
Ответ: 19

б) Необходимо вычислить $a_{15}$, если $a_1 = -15$ и $d = -5$.
Подставляем в формулу значения $n=15$, $a_1=-15$ и $d=-5$:
$a_{15} = -15 + (15-1) \cdot (-5)$
$a_{15} = -15 + 14 \cdot (-5)$
$a_{15} = -15 - 70$
$a_{15} = -85$.
Ответ: -85

в) Необходимо вычислить $a_{17}$, если $a_1 = -12$ и $d = 2$.
Подставляем в формулу значения $n=17$, $a_1=-12$ и $d=2$:
$a_{17} = -12 + (17-1) \cdot 2$
$a_{17} = -12 + 16 \cdot 2$
$a_{17} = -12 + 32$
$a_{17} = 20$.
Ответ: 20

г) Необходимо вычислить $a_9$, если $a_1 = 101$ и $d = \frac{1}{2}$.
Подставляем в формулу значения $n=9$, $a_1=101$ и $d=\frac{1}{2}$:
$a_9 = 101 + (9-1) \cdot \frac{1}{2}$
$a_9 = 101 + 8 \cdot \frac{1}{2}$
$a_9 = 101 + 4$
$a_9 = 105$.
Ответ: 105

16.17 Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_1 = 12$, $a_5 = 40$;

б) $a_6 = -30$, $a_{16} = 30$;

в) $a_1 = -8$, $a_{11} = -28$;

г) $a_{11} = 4,6$, $a_{36} = 54,6$.

Для нахождения разности $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Эту формулу можно обобщить для двух любых членов прогрессии $a_n$ и $a_m$: $a_n = a_m + (n-m)d$. Из этой формулы выразим разность $d$:

$d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$

Будем использовать эту формулу для решения каждого подпункта.

а) Даны члены прогрессии $a_1 = 12$ и $a_5 = 40$.

Для нахождения разности $d$ подставим значения в формулу, где $n=5$ и $m=1$:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5-1} = \frac{40 - 12}{4} = \frac{28}{4} = 7$.

Ответ: $7$.

б) Даны члены прогрессии $a_6 = -30$ и $a_{16} = 30$.

Подставим значения в формулу, где $n=16$ и $m=6$:

$d = \frac{a_{16} - a_6}{16-6} = \frac{30 - (-30)}{10} = \frac{30 + 30}{10} = \frac{60}{10} = 6$.

Ответ: $6$.

в) Даны члены прогрессии $a_1 = -8$ и $a_{11} = -28$.

Подставим значения в формулу, где $n=11$ и $m=1$:

$d = \frac{a_{11} - a_1}{11-1} = \frac{-28 - (-8)}{10} = \frac{-28 + 8}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.

Ответ: $-2$.

г) Даны члены прогрессии $a_{11} = 4,6$ и $a_{36} = 54,6$.

Подставим значения в формулу, где $n=36$ и $m=11$:

$d = \frac{a_{36} - a_{11}}{36-11} = \frac{54,6 - 4,6}{25} = \frac{50}{25} = 2$.

Ответ: $2$.

16.18 Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

a) $a_7 = 9, d = 2;$

б) $a_{37} = -69, d = -2,5;$

в) $a_{26} = -71, d = -3;$

г) $a_{14} = -6\sqrt{5}, d = -\sqrt{5}.$

Для решения всех подпунктов задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена. Чтобы найти первый член $a_1$, выразим его из этой формулы: $a_1 = a_n - (n-1)d$.

а) Дано: $a_7 = 9$, $d = 2$.
В данном случае $n=7$. Подставим известные значения в формулу для нахождения $a_1$:
$a_1 = a_7 - (7-1)d$
$a_1 = 9 - (6) \cdot 2$
$a_1 = 9 - 12$
$a_1 = -3$
Ответ: -3.

б) Дано: $a_{37} = -69$, $d = -2,5$.
Здесь $n=37$. Подставляем значения в формулу:
$a_1 = a_{37} - (37-1)d$
$a_1 = -69 - (36) \cdot (-2,5)$
$a_1 = -69 - (-90)$
$a_1 = -69 + 90$
$a_1 = 21$
Ответ: 21.

в) Дано: $a_{26} = -71$, $d = -3$.
Здесь $n=26$. Подставляем значения в формулу:
$a_1 = a_{26} - (26-1)d$
$a_1 = -71 - (25) \cdot (-3)$
$a_1 = -71 - (-75)$
$a_1 = -71 + 75$
$a_1 = 4$
Ответ: 4.

г) Дано: $a_{14} = -6\sqrt{5}$, $d = -\sqrt{5}$.
Здесь $n=14$. Подставляем значения в формулу:
$a_1 = a_{14} - (14-1)d$
$a_1 = -6\sqrt{5} - (13) \cdot (-\sqrt{5})$
$a_1 = -6\sqrt{5} - (-13\sqrt{5})$
$a_1 = -6\sqrt{5} + 13\sqrt{5}$
$a_1 = (-6 + 13)\sqrt{5}$
$a_1 = 7\sqrt{5}$
Ответ: $7\sqrt{5}$.

16.19 a) Число 29 является членом арифметической прогрессии $9, 11, 13, \dots$. Найдите номер этого члена.

б) Число 43 является членом арифметической прогрессии $3, 7, 11, \dots$. Найдите номер этого члена.

а) Для того чтобы определить, является ли число членом арифметической прогрессии и найти его номер, используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — это искомый член прогрессии, $a_1$ — её первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена.

Рассмотрим заданную прогрессию: 9, 11, 13, ... .

Первый член этой прогрессии $a_1 = 9$.

Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем её: $d = 11 - 9 = 2$.

Нам нужно найти номер члена, который равен 29. То есть, $a_n = 29$. Подставим известные значения в формулу:

$29 = 9 + (n-1) \cdot 2$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$29 - 9 = (n-1) \cdot 2$

$20 = 2(n-1)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$10 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 10 + 1 = 11$

Поскольку $n=11$ является натуральным числом, число 29 действительно является членом данной прогрессии, и его номер — 11.

Ответ: 11.

б) Решим вторую задачу по аналогии. Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, ... .

Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$.

Найдем разность прогрессии $d$: $d = 7 - 3 = 4$.

Нам нужно найти номер члена, равного 43, то есть $a_n = 43$. Воспользуемся той же формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения:

$43 = 3 + (n-1) \cdot 4$

Решим полученное уравнение:

$43 - 3 = (n-1) \cdot 4$

$40 = 4(n-1)$

Разделим обе части на 4:

$10 = n - 1$

Находим $n$:

$n = 10 + 1 = 11$

Так как $n=11$ — натуральное число, число 43 является 11-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: 11.

16.20 Проверьте:

а) является ли число $4.5$ членом арифметической прогрессии $-1.5, -1, -0.5, \dots$;

б) является ли число $43.5$ членом арифметической прогрессии $7.5, 11, 14.5, \dots$.

а) является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии -1,5, -1, -0,5, ...;

Чтобы определить, является ли заданное число членом арифметической прогрессии, необходимо проверить, существует ли для него натуральный номер $n$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.
Для данной прогрессии:
Первый член $a_1 = -1,5$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -1 - (-1,5) = -1 + 1,5 = 0,5$.
Теперь предположим, что число 4,5 является n-м членом этой прогрессии, то есть $a_n = 4,5$. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$4,5 = -1,5 + (n-1) \cdot 0,5$
Перенесем $-1,5$ в левую часть:
$4,5 + 1,5 = (n-1) \cdot 0,5$
$6 = (n-1) \cdot 0,5$
Разделим обе части на $0,5$:
$n-1 = \frac{6}{0,5}$
$n-1 = 12$
$n = 13$
Поскольку мы получили натуральное число $n=13$, это означает, что число 4,5 является 13-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является.

б) является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5, 11, 14,5, ... .

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для данной прогрессии:
Первый член $a_1 = 7,5$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 11 - 7,5 = 3,5$.
Предположим, что число 43,5 является n-м членом этой прогрессии, то есть $a_n = 43,5$. Подставим значения в формулу и найдем $n$:
$43,5 = 7,5 + (n-1) \cdot 3,5$
Вычтем $7,5$ из обеих частей:
$43,5 - 7,5 = (n-1) \cdot 3,5$
$36 = (n-1) \cdot 3,5$
Разделим обе части на $3,5$:
$n-1 = \frac{36}{3,5}$
$n-1 = \frac{360}{35} = \frac{72}{7}$
$n = \frac{72}{7} + 1 = \frac{72}{7} + \frac{7}{7} = \frac{79}{7}$
Так как номер члена прогрессии $n = \frac{79}{7}$ не является натуральным числом ($ \frac{79}{7} = 11\frac{2}{7} $), то число 43,5 не может быть членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Нет, не является.

16.21 Проверьте:

а) является ли число 41 членом арифметической прогрессии ($a_n$), у которой $a_1 = -7, d = 4$;

б) является ли число -33 членом арифметической прогрессии ($a_n$), у которой $a_1 = 3, d = -6$.

а) Для того чтобы определить, является ли число 41 членом арифметической прогрессии $(a_n)$ с первым членом $a_1 = -7$ и разностью $d = 4$, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), для которого выполняется равенство $a_n = 41$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу:
$41 = -7 + (n-1) \cdot 4$
Теперь решим это уравнение относительно $n$:
$41 + 7 = 4(n-1)$
$48 = 4(n-1)$
$n-1 = \frac{48}{4}$
$n-1 = 12$
$n = 13$
Так как мы получили натуральное число $n=13$, это означает, что число 41 является 13-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: да, является.

б) Аналогично проверим, является ли число –33 членом арифметической прогрессии $(a_n)$, у которой $a_1 = 3$ и $d = -6$.
Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим заданные значения: $a_n = -33$, $a_1 = 3$, $d = -6$.
$-33 = 3 + (n-1) \cdot (-6)$
Решим полученное уравнение:
$-33 - 3 = -6(n-1)$
$-36 = -6(n-1)$
$n-1 = \frac{-36}{-6}$
$n-1 = 6$
$n = 7$
Поскольку мы получили натуральное число $n=7$, это значит, что число –33 является 7-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: да, является.