Номер 16.20, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.20 Проверьте:

а) является ли число $4.5$ членом арифметической прогрессии $-1.5, -1, -0.5, \dots$;

б) является ли число $43.5$ членом арифметической прогрессии $7.5, 11, 14.5, \dots$.

а) является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии -1,5, -1, -0,5, ...;

Чтобы определить, является ли заданное число членом арифметической прогрессии, необходимо проверить, существует ли для него натуральный номер $n$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.
Для данной прогрессии:
Первый член $a_1 = -1,5$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -1 - (-1,5) = -1 + 1,5 = 0,5$.
Теперь предположим, что число 4,5 является n-м членом этой прогрессии, то есть $a_n = 4,5$. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$4,5 = -1,5 + (n-1) \cdot 0,5$
Перенесем $-1,5$ в левую часть:
$4,5 + 1,5 = (n-1) \cdot 0,5$
$6 = (n-1) \cdot 0,5$
Разделим обе части на $0,5$:
$n-1 = \frac{6}{0,5}$
$n-1 = 12$
$n = 13$
Поскольку мы получили натуральное число $n=13$, это означает, что число 4,5 является 13-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является.

б) является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5, 11, 14,5, ... .

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для данной прогрессии:
Первый член $a_1 = 7,5$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 11 - 7,5 = 3,5$.
Предположим, что число 43,5 является n-м членом этой прогрессии, то есть $a_n = 43,5$. Подставим значения в формулу и найдем $n$:
$43,5 = 7,5 + (n-1) \cdot 3,5$
Вычтем $7,5$ из обеих частей:
$43,5 - 7,5 = (n-1) \cdot 3,5$
$36 = (n-1) \cdot 3,5$
Разделим обе части на $3,5$:
$n-1 = \frac{36}{3,5}$
$n-1 = \frac{360}{35} = \frac{72}{7}$
$n = \frac{72}{7} + 1 = \frac{72}{7} + \frac{7}{7} = \frac{79}{7}$
Так как номер члена прогрессии $n = \frac{79}{7}$ не является натуральным числом ($ \frac{79}{7} = 11\frac{2}{7} $), то число 43,5 не может быть членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Нет, не является.