Номер 16.14, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

16.14 а) 2, 5, 8, 11, ...;

б) 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, ...;

в) 7, 5, 3, 1, ...;

г) $-1, -1\frac{1}{7}, -1\frac{2}{7}, -1\frac{3}{7}, \dots$

а)

Данная последовательность: $2, 5, 8, 11, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$.

Убедимся, что разность постоянна: $a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим найденные значения $a_1 = 2$ и $d = 3$ в формулу:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3$

Теперь упростим выражение:

$a_n = 2 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 1$

Ответ: $a_n = 3n - 1$

б)

Данная последовательность: $0,5; 1,5; 2,5; 3,5; \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 0,5$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 1,5 - 0,5 = 1$.

Проверим: $a_3 - a_2 = 2,5 - 1,5 = 1$.

Используем общую формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1 = 0,5$ и $d = 1$:

$a_n = 0,5 + (n-1) \cdot 1$

Упростим выражение:

$a_n = 0,5 + n - 1$

$a_n = n - 0,5$

Ответ: $a_n = n - 0,5$

в)

Данная последовательность: $7, 5, 3, 1, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 7 = -2$.

Проверим: $a_3 - a_2 = 3 - 5 = -2$.

Используем общую формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1 = 7$ и $d = -2$:

$a_n = 7 + (n-1) \cdot (-2)$

Упростим выражение:

$a_n = 7 - 2n + 2$

$a_n = 9 - 2n$

Ответ: $a_n = 9 - 2n$

г)

Данная последовательность: $-1, -1\frac{1}{7}, -1\frac{2}{7}, -1\frac{3}{7}, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = -1$.

Найдем разность прогрессии $d$. Для этого сначала найдем второй член $a_2 = -1\frac{1}{7}$.

$d = a_2 - a_1 = -1\frac{1}{7} - (-1) = -1\frac{1}{7} + 1 = -\frac{1}{7}$.

Проверим для следующей пары членов, представив их в виде неправильных дробей: $a_3 = -1\frac{2}{7} = -\frac{9}{7}$, $a_2 = -1\frac{1}{7} = -\frac{8}{7}$.

$d = a_3 - a_2 = -\frac{9}{7} - (-\frac{8}{7}) = -\frac{9}{7} + \frac{8}{7} = -\frac{1}{7}$.

Используем общую формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1 = -1$ и $d = -\frac{1}{7}$:

$a_n = -1 + (n-1) \cdot (-\frac{1}{7})$

Упростим выражение:

$a_n = -1 - \frac{n-1}{7}$

$a_n = -\frac{7}{7} - \frac{n-1}{7} = \frac{-7-(n-1)}{7} = \frac{-7-n+1}{7} = \frac{-6-n}{7}$

$a_n = -\frac{n+6}{7}$

Ответ: $a_n = -\frac{n+6}{7}$