Номер 16.8, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.8 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

По условию, возрастающая последовательность $(a_n)$ состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Это означает, что каждый член последовательности может быть представлен в виде формулы:
$a = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$), так как нам нужны натуральные числа, и последовательность возрастающая.

Найдем первые несколько членов этой последовательности, подставляя значения $k$ начиная с 0:
Если $k=0$, то первый член $a_1 = 5 \cdot 0 + 3 = 3$.
Если $k=1$, то второй член $a_2 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$.
Если $k=2$, то третий член $a_3 = 5 \cdot 2 + 3 = 13$.
Если $k=3$, то четвертый член $a_4 = 5 \cdot 3 + 3 = 18$.
Получаем последовательность: 3, 8, 13, 18, ...

Чтобы выяснить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между любыми двумя соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью прогрессии ($d$).
$a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$
$a_3 - a_2 = 13 - 8 = 5$
$a_4 - a_3 = 18 - 13 = 5$

Разность между соседними членами постоянна. Докажем это в общем виде.
n-й член последовательности $a_n$ соответствует значению $k = n-1$, то есть $a_n = 5(n-1) + 3$.
(n+1)-й член последовательности $a_{n+1}$ соответствует значению $k = n$, то есть $a_{n+1} = 5n + 3$.
Найдем их разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (5n + 3) - (5(n-1) + 3) = 5n + 3 - (5n - 5 + 3) = 5n + 3 - 5n + 2 = 5$.
Поскольку разность $d=5$ является постоянной для любых соседних членов, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает остаток 3. Мы его уже нашли: $a_1 = 3$.
Разность прогрессии $d$ равна 5.

Ответ: Да, данная последовательность является арифметической прогрессией. Её первый член равен 3, а разность прогрессии равна 5.