Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.7 Найдите разность и десятый член арифметической прогрессии:

а) $1, 3, 5, 7, ...;$

б) $\sqrt{5}, 6 + \sqrt{5}, 12 + \sqrt{5}, 18 + \sqrt{5}, ...;$

в) $100, 90, 80, 70, ...;$

г) $3, 3 - \sqrt{2}, 3 - 2\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2}, ...$

а)

Дана арифметическая прогрессия: $1, 3, 5, 7, ...$

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$.

Чтобы найти разность прогрессии $d$, вычтем первый член из второго:

$d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.

Для нахождения десятого члена прогрессии $a_{10}$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 1 + 9 \cdot 2 = 1 + 18 = 19$.

Ответ: разность $d=2$, десятый член $a_{10}=19$.

б)

Дана арифметическая прогрессия: $\sqrt{5}, 6 + \sqrt{5}, 12 + \sqrt{5}, 18 + \sqrt{5}, ...$

Первый член этой прогрессии $a_1 = \sqrt{5}$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = (6 + \sqrt{5}) - \sqrt{5} = 6$.

Теперь найдем десятый член прогрессии $a_{10}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = \sqrt{5} + 9 \cdot 6 = \sqrt{5} + 54$.

Ответ: разность $d=6$, десятый член $a_{10}=54 + \sqrt{5}$.

в)

Дана арифметическая прогрессия: $100, 90, 80, 70, ...$

Первый член этой прогрессии $a_1 = 100$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 90 - 100 = -10$.

Теперь найдем десятый член прогрессии $a_{10}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 100 + 9 \cdot (-10) = 100 - 90 = 10$.

Ответ: разность $d=-10$, десятый член $a_{10}=10$.

г)

Дана арифметическая прогрессия: $3, 3 - \sqrt{2}, 3 - 2\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2}, ...$

Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = (3 - \sqrt{2}) - 3 = -\sqrt{2}$.

Теперь найдем десятый член прогрессии $a_{10}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 3 + 9 \cdot (-\sqrt{2}) = 3 - 9\sqrt{2}$.

Ответ: разность $d=-\sqrt{2}$, десятый член $a_{10}=3 - 9\sqrt{2}$.

16.8 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

По условию, возрастающая последовательность $(a_n)$ состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Это означает, что каждый член последовательности может быть представлен в виде формулы:
$a = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$), так как нам нужны натуральные числа, и последовательность возрастающая.

Найдем первые несколько членов этой последовательности, подставляя значения $k$ начиная с 0:
Если $k=0$, то первый член $a_1 = 5 \cdot 0 + 3 = 3$.
Если $k=1$, то второй член $a_2 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$.
Если $k=2$, то третий член $a_3 = 5 \cdot 2 + 3 = 13$.
Если $k=3$, то четвертый член $a_4 = 5 \cdot 3 + 3 = 18$.
Получаем последовательность: 3, 8, 13, 18, ...

Чтобы выяснить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между любыми двумя соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью прогрессии ($d$).
$a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$
$a_3 - a_2 = 13 - 8 = 5$
$a_4 - a_3 = 18 - 13 = 5$

Разность между соседними членами постоянна. Докажем это в общем виде.
n-й член последовательности $a_n$ соответствует значению $k = n-1$, то есть $a_n = 5(n-1) + 3$.
(n+1)-й член последовательности $a_{n+1}$ соответствует значению $k = n$, то есть $a_{n+1} = 5n + 3$.
Найдем их разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (5n + 3) - (5(n-1) + 3) = 5n + 3 - (5n - 5 + 3) = 5n + 3 - 5n + 2 = 5$.
Поскольку разность $d=5$ является постоянной для любых соседних членов, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает остаток 3. Мы его уже нашли: $a_1 = 3$.
Разность прогрессии $d$ равна 5.

Ответ: Да, данная последовательность является арифметической прогрессией. Её первый член равен 3, а разность прогрессии равна 5.

16.9 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 11. Докажите, что она является арифметической прогрессией; укажите первый член и разность прогрессии.

Рассмотрим возрастающую последовательность $a_n$, состоящую из всех натуральных чисел, кратных 11.Общий член этой последовательности можно записать в виде формулы: $a_n = 11n$, где $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, \dots$).

Докажите, что она является арифметической прогрессией

По определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Обозначим эту постоянную разность через $d$.Найдем разность для нашей последовательности:$d = a_{n+1} - a_n$.

Подставим выражения для членов последовательности: $a_n = 11n$ и $a_{n+1} = 11(n+1)$.$d = 11(n+1) - 11n = 11n + 11 - 11n = 11$.

Поскольку разность $d=11$ является константой (не зависит от $n$), данная последовательность является арифметической прогрессией.

укажите первый член и разность прогрессии

Первый член прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, кратное 11. Он соответствует значению $n=1$:$a_1 = 11 \cdot 1 = 11$.

Разность прогрессии $d$ — это постоянная разность, которая была найдена в ходе доказательства. Она равна 11.

Ответ: Последовательность натуральных чисел, кратных 11, является арифметической прогрессией, так как разность между соседними членами $a_{n+1} - a_n = 11$ постоянна. Первый член прогрессии $a_1 = 11$, разность $d = 11$.

16.10 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных степеней числа 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

Данная возрастающая последовательность состоит из всех натуральных степеней числа 3. Запишем несколько первых членов этой последовательности, которую обозначим как $a_n$, где $n$ - натуральное число.

$a_1 = 3^1 = 3$

$a_2 = 3^2 = 9$

$a_3 = 3^3 = 27$

$a_4 = 3^4 = 81$

... и так далее.

По определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Эта постоянная величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство: $a_{n+1} - a_n = d$.

Проверим выполнение этого условия для нашей последовательности. Вычислим разность между вторым и первым членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 9 - 3 = 6$.

Теперь вычислим разность между третьим и вторым членами:

$d_2 = a_3 - a_2 = 27 - 9 = 18$.

Мы получили, что $d_1 \neq d_2$, так как $6 \neq 18$. Поскольку разность между последовательными членами не является постоянной, данная последовательность не является арифметической прогрессией. В связи с этим, вторая часть вопроса (об указании первого члена и разности) неактуальна.

Ответ: последовательность натуральных степеней числа 3 не является арифметической прогрессией.

16.11 Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность ($x_n$), заданная формулой $n$-го члена. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

а) $x_n = 3n + 1$;

б) $x_n = 3 \cdot 2^n$;

в) $x_n = n^2$;

г) $x_n = 4n - 3$.

а) $x_n = 3n + 1$

Для того чтобы выяснить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между любым ее членом и предыдущим членом постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$.

Теперь вычислим разность $x_{n+1} - x_n$: $d = x_{n+1} - x_n = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3$.

Разность $d=3$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $x_1$ найдем, подставив $n=1$ в исходную формулу: $x_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

Ответ: Да, является. Первый член $x_1 = 4$, разность прогрессии $d = 3$.

б) $x_n = 3 \cdot 2^n$

Проверим, является ли разность $x_{n+1} - x_n$ постоянной. Для этого найдем несколько первых членов последовательности.

При $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$.
При $n=2$: $x_2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.
При $n=3$: $x_3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Теперь найдем разности между соседними членами: $x_2 - x_1 = 12 - 6 = 6$.
$x_3 - x_2 = 24 - 12 = 12$.

Так как разности $6$ и $12$ не равны, разность между членами не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

в) $x_n = n^2$

Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы проверить, постоянна ли разность между ними.

При $n=1$: $x_1 = 1^2 = 1$.
При $n=2$: $x_2 = 2^2 = 4$.
При $n=3$: $x_3 = 3^2 = 9$.

Найдем разности между соседними членами: $x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3$.
$x_3 - x_2 = 9 - 4 = 5$.

Так как $3 \ne 5$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

г) $x_n = 4n - 3$

Проверим, является ли разность $x_{n+1} - x_n$ постоянной величиной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 4(n+1) - 3 = 4n + 4 - 3 = 4n + 1$.

Теперь вычислим разность $x_{n+1} - x_n$: $d = x_{n+1} - x_n = (4n + 1) - (4n - 3) = 4n + 1 - 4n + 3 = 4$.

Разность $d=4$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $x_1$ найдем, подставив $n=1$ в исходную формулу: $x_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1$.

Ответ: Да, является. Первый член $x_1 = 1$, разность прогрессии $d = 4$.

16.12 Докажите, что последовательность ($a_n$) является арифметической прогрессией, и найдите разность прогрессии:

а) $a_n = 2n + 1$;

б) $a_n = 0,5n - 4$;

в) $a_n = -3n + 1$;

г) $a_n = -\frac{1}{3}n - 1$.

Чтобы доказать, что последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между последующим и предыдущим членами последовательности, $d = a_{n+1} - a_n$, является постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта величина $d$ и будет разностью прогрессии.

а) Дана последовательность $a_n = 2n + 1$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:

$a_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3$.

Теперь найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (2n + 3) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Разность не зависит от $n$ и равна 2. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=2$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна 2.

б) Дана последовательность $a_n = 0,5n - 4$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 0,5(n+1) - 4 = 0,5n + 0,5 - 4 = 0,5n - 3,5$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (0,5n - 3,5) - (0,5n - 4) = 0,5n - 3,5 - 0,5n + 4 = 0,5$.

Разность не зависит от $n$ и равна 0,5. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=0,5$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна 0,5.

в) Дана последовательность $a_n = -3n + 1$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = -3(n+1) + 1 = -3n - 3 + 1 = -3n - 2$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (-3n - 2) - (-3n + 1) = -3n - 2 + 3n - 1 = -3$.

Разность не зависит от $n$ и равна -3. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-3$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна -3.

г) Дана последовательность $a_n = -\frac{1}{3}n - 1$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = -\frac{1}{3}(n+1) - 1 = -\frac{1}{3}n - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3}n - \frac{4}{3}$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$d = a_{n+1} - a_n = (-\frac{1}{3}n - \frac{4}{3}) - (-\frac{1}{3}n - 1) = -\frac{1}{3}n - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}n + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$.

Разность не зависит от $n$ и равна $-\frac{1}{3}$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-\frac{1}{3}$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность равна $-\frac{1}{3}$.

16.13 Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии ($a_n$), найдите $a_1$ и $d$:

a) $a_n = 3n - 2$;

б) $a_n = -1 - \frac{n}{3}$;

в) $a_n = -0.1n + 3$;

г) $a_n = 5 - 2n$.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ и ее разности $d$, зная формулу $n$-го члена, будем следовать общему плану:

1. Для нахождения первого члена $a_1$ подставим в формулу $n=1$.
2. Для нахождения разности $d$ сначала вычислим второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$. Затем найдем разность по формуле $d = a_2 - a_1$.

а) Дана формула $a_n = 3n - 2$.

Находим первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$.
Находим второй член прогрессии $a_2$:
$a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$.
Вычисляем разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$.
Ответ: $a_1 = 1, d = 3$.

б) Дана формула $a_n = -1 - \frac{n}{3}$.

Находим первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.
Находим второй член прогрессии $a_2$:
$a_2 = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$.
Вычисляем разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = -\frac{5}{3} - (-\frac{4}{3}) = -\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $a_1 = -\frac{4}{3}, d = -\frac{1}{3}$.

в) Дана формула $a_n = -0,1n + 3$.

Находим первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = -0,1 \cdot 1 + 3 = 2,9$.
Находим второй член прогрессии $a_2$:
$a_2 = -0,1 \cdot 2 + 3 = -0,2 + 3 = 2,8$.
Вычисляем разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = 2,8 - 2,9 = -0,1$.
Ответ: $a_1 = 2,9, d = -0,1$.

г) Дана формула $a_n = 5 - 2n$.

Находим первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3$.
Находим второй член прогрессии $a_2$:
$a_2 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.
Вычисляем разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$.
Ответ: $a_1 = 3, d = -2$.