Страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

15.28 a) 1, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{9}$, ...;

б) $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{5}{6}$, ...;

в) 1, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{25}$, ...;

г) $\frac{1}{1 \cdot 2}$, $\frac{1}{2 \cdot 3}$, $\frac{1}{3 \cdot 4}$, $\frac{1}{4 \cdot 5}$, $\frac{1}{5 \cdot 6}$, ...;

а)

Дана последовательность: $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 1 = \frac{1}{1}$
$a_2 = \frac{1}{3}$
$a_3 = \frac{1}{5}$
$a_4 = \frac{1}{7}$
$a_5 = \frac{1}{9}$
Видно, что числитель каждого члена равен 1. Знаменатели образуют последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ...
Формула для n-го нечетного натурального числа имеет вид $2n - 1$.
Проверим:
для $n=1$: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.
для $n=2$: $2 \cdot 2 - 1 = 3$.
для $n=3$: $2 \cdot 3 - 1 = 5$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{2n-1}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2n-1}$

б)

Дана последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $b_n$.
$b_1 = \frac{1}{2}$
$b_2 = \frac{2}{3}$
$b_3 = \frac{3}{4}$
$b_4 = \frac{4}{5}$
$b_5 = \frac{5}{6}$
Замечаем, что числитель n-го члена равен номеру этого члена, то есть $n$.
Знаменатель n-го члена на единицу больше его числителя, то есть $n+1$.
Проверим:
для $n=1$: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
для $n=2$: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $b_n = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $b_n = \frac{n}{n+1}$

в)

Дана последовательность: $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $c_n$.
$c_1 = 1 = \frac{1}{1}$
$c_2 = \frac{1}{4}$
$c_3 = \frac{1}{9}$
$c_4 = \frac{1}{16}$
$c_5 = \frac{1}{25}$
Числитель каждого члена равен 1. Знаменатели образуют последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Это последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$
Знаменатель n-го члена равен $n^2$.
Проверим:
для $n=1$: $\frac{1}{1^2} = 1$.
для $n=2$: $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $c_n = \frac{1}{n^2}$.
Ответ: $c_n = \frac{1}{n^2}$

г)

Дана последовательность: $\frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 6}, \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $d_n$.
$d_1 = \frac{1}{1 \cdot 2}$
$d_2 = \frac{1}{2 \cdot 3}$
$d_3 = \frac{1}{3 \cdot 4}$
$d_4 = \frac{1}{4 \cdot 5}$
$d_5 = \frac{1}{5 \cdot 6}$
Числитель каждого члена равен 1. Знаменатель n-го члена представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел.
Первый множитель в знаменателе n-го члена равен $n$.
Второй множитель в знаменателе n-го члена равен $n+1$.
Таким образом, знаменатель равен $n(n+1)$.
Следовательно, формула n-го члена последовательности: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$.
Ответ: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$

15.29 a) $- \frac{2}{2}, \frac{4}{5}, - \frac{6}{8}, \frac{8}{11}, - \frac{10}{14}, \dots;$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots;$

В) $\frac{2}{5}, - \frac{4}{10}, \frac{8}{15}, - \frac{16}{20}, \frac{32}{25}, \dots;$

Г) $- \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, - \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, - \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots;$

а) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $-\frac{2}{2}, \frac{4}{5}, -\frac{6}{8}, \frac{8}{11}, -\frac{10}{14}, \dots$. Проанализируем закономерности для знака, числителя и знаменателя. 1. Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса. Это соответствует множителю $(-1)^n$, так как при $n=1$ он равен -1, при $n=2$ равен 1, и так далее. 2. Числители образуют последовательность $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=2$ и разностью $d=2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)2 = 2n$. 3. Знаменатели образуют последовательность $2, 5, 8, 11, 14, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1=2$ и разностью $d=3$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 3n-1$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = (-1)^n \frac{2n}{3n-1}$

б) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots$. Проанализируем закономерности для числителя и знаменателя. 1. Числители образуют последовательность нечетных чисел $1, 3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=1$ и разностью $d=2$. Формула для n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n-1$. 2. Знаменатели образуют последовательность $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \dots$. Преобразуем члены этой последовательности, чтобы увидеть закономерность: $\sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$, $2 = (\sqrt{2})^2$, $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$, $4 = (\sqrt{2})^4$, $4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^5, \dots$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=\sqrt{2}$. Формула для n-го члена знаменателя: $b_n = (\sqrt{2})^n$ или $b_n = 2^{n/2}$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}$

в) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $\frac{2}{5}, -\frac{4}{10}, \frac{8}{15}, -\frac{16}{20}, \frac{32}{25}, \dots$. Проанализируем закономерности для знака, числителя и знаменателя. 1. Знаки членов последовательности чередуются, начиная с плюса. Это соответствует множителю $(-1)^{n-1}$ (или $(-1)^{n+1}$), так как при $n=1$ он равен 1, при $n=2$ равен -1, и так далее. 2. Числители образуют последовательность $2, 4, 8, 16, 32, \dots$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$, члены которой являются степенями двойки: $2^1, 2^2, 2^3, \dots$. Формула для n-го члена: $a_n = 2^n$. 3. Знаменатели образуют последовательность $5, 10, 15, 20, 25, \dots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1=5$ и разностью $d=5$. Формула для n-го члена: $b_n = 5n$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = (-1)^{n-1} \frac{2^n}{5n}$

г) Обозначим n-й член последовательности как $x_n$. Последовательность: $-\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, -\frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, -\frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots$. Проанализируем закономерности для знака, числителя и знаменателя. 1. Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса. Это соответствует множителю $(-1)^n$. 2. Числители образуют последовательность $1, 4, 9, 16, 25, \dots$. Это последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, \dots$. Формула для n-го члена: $a_n = n^2$. 3. Знаменатели представляют собой корни из произведений последовательных натуральных чисел. Для n-го члена это будет произведение $n$ и $n+1$. Таким образом, формула для n-го члена знаменателя: $b_n = \sqrt{n(n+1)}$. Собирая все вместе, получаем формулу для n-го члена исходной последовательности.
Ответ: $x_n = (-1)^n \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$

15.30 Выпишите первые шесть членов последовательности ($x_n$), у которой $x_1 = -3$, $x_2 = -2$ и каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

Нахождение первых шести членов последовательности

По условию задачи, первые два члена последовательности $(x_n)$ равны:

$x_1 = -3$

$x_2 = -2$

Каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих. Это правило можно записать в виде рекуррентной формулы: $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$ для $n \ge 3$.

Вычислим последовательно члены с третьего по шестой:

Третий член: $x_3 = 2(x_2 + x_1) = 2(-2 + (-3)) = 2(-5) = -10$.

Четвертый член: $x_4 = 2(x_3 + x_2) = 2(-10 + (-2)) = 2(-12) = -24$.

Пятый член: $x_5 = 2(x_4 + x_3) = 2(-24 + (-10)) = 2(-34) = -68$.

Шестой член: $x_6 = 2(x_5 + x_4) = 2(-68 + (-24)) = 2(-92) = -184$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности:

Ответ: -3, -2, -10, -24, -68, -184.

Составление рекуррентного задания последовательности

Рекуррентное задание последовательности состоит из двух частей: начальных условий и рекуррентной формулы.

1. Начальные условия: это заданные первые члены, которые необходимы для начала вычислений. В данном случае это $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

2. Рекуррентная формула: это правило, по которому вычисляются последующие члены через предыдущие. Из условия "каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов" следует формула $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$. Эта формула применяется для $n \ge 3$.

Объединяя эти два элемента, получаем полное рекуррентное задание последовательности.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -2$; $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$ при $n \ge 3$.

Задайте последовательность рекуррентным способом:

15.31 a) 2, 2, 2, 2, ...;

б) 2, 4, 6, 8, 10, ...;

в) 9, 7, 5, 3, 1, ...;

г) 5, -5, 5, -5, 5, -5, ....

а) Дана последовательность, которую обозначим как $a_n$: 2, 2, 2, 2, ...
Это стационарная, или постоянная, последовательность.
Первый член последовательности $a_1 = 2$.
Каждый последующий член равен предыдущему. Например, $a_2 = 2 = a_1$, $a_3 = 2 = a_2$, и так далее.
Следовательно, рекуррентная формула, задающая эту последовательность, имеет вид $a_{n+1} = a_n$.
Для полного рекуррентного задания последовательности необходимо указать ее первый член и саму рекуррентную формулу.
Ответ: $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n$.

б) Дана последовательность, которую обозначим как $b_n$: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Это арифметическая прогрессия.
Первый член последовательности $b_1 = 2$.
Найдем разность между соседними членами, чтобы определить шаг прогрессии:
$b_2 - b_1 = 4 - 2 = 2$
$b_3 - b_2 = 6 - 4 = 2$
$b_4 - b_3 = 8 - 6 = 2$
Разность постоянна и равна 2. Это означает, что каждый следующий член получается путем прибавления числа 2 к предыдущему члену.
Таким образом, рекуррентная формула имеет вид: $b_{n+1} = b_n + 2$.
Ответ: $b_1 = 2$, $b_{n+1} = b_n + 2$.

в) Дана последовательность, которую обозначим как $c_n$: 9, 7, 5, 3, 1, ...
Это также арифметическая прогрессия.
Первый член последовательности $c_1 = 9$.
Найдем разность между соседними членами:
$c_2 - c_1 = 7 - 9 = -2$
$c_3 - c_2 = 5 - 7 = -2$
$c_4 - c_3 = 3 - 5 = -2$
Разность постоянна и равна -2. Это означает, что каждый следующий член получается путем вычитания числа 2 из предыдущего члена.
Рекуррентная формула, описывающая эту зависимость: $c_{n+1} = c_n - 2$.
Ответ: $c_1 = 9$, $c_{n+1} = c_n - 2$.

г) Дана последовательность, которую обозначим как $d_n$: 5, -5, 5, -5, 5, -5, ...
Это знакочередующаяся последовательность. Можно заметить, что она является геометрической прогрессией.
Первый член последовательности $d_1 = 5$.
Найдем отношение соседних членов, чтобы определить знаменатель прогрессии:
$d_2 / d_1 = -5 / 5 = -1$
$d_3 / d_2 = 5 / (-5) = -1$
$d_4 / d_3 = -5 / 5 = -1$
Отношение постоянно и равно -1. Это означает, что каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на -1.
Рекуррентная формула имеет вид: $d_{n+1} = d_n \cdot (-1)$ или, что то же самое, $d_{n+1} = -d_n$.
Ответ: $d_1 = 5$, $d_{n+1} = -d_n$.

15.32 a) 2, 6, 18, 54, 162, ...;

б) 1, 8, 15, 22, 29, ...;

В) $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots $;

Г) 3, -9, 27, -81, 243, ...;

а) Для последовательности 2, 6, 18, 54, 162, ... определим ее тип. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, для чего найдем разность между соседними членами: $a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$; $a_3 - a_2 = 18 - 6 = 12$. Поскольку разности не равны ($4 \neq 12$), последовательность не является арифметической.

Теперь проверим, является ли она геометрической прогрессией, для чего найдем отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = 6 / 2 = 3$; $b_3 / b_2 = 18 / 6 = 3$; $b_4 / b_3 = 54 / 18 = 3$. Отношение постоянно и равно 3. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$, а ее знаменатель $q = 3$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 2$ и знаменателем $q = 3$.

б) Для последовательности 1, 8, 15, 22, 29, ... определим ее тип. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, найдя разность между соседними членами: $a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$; $a_3 - a_2 = 15 - 8 = 7$; $a_4 - a_3 = 22 - 15 = 7$. Разность постоянна и равна 7. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а ее разность $d = 7$.
Ответ: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 7$.

в) Для последовательности $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$ определим ее тип. Проверим на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$; разность $a_3 - a_2 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}$. Разности не равны, следовательно, это не арифметическая прогрессия.

Проверим на геометрическую прогрессию, найдя отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$; $b_3 / b_2 = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{2}$. Отношение постоянно и равно $1/2$. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$, а ее знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

г) Для последовательности 3, -9, 27, -81, 243, ... определим ее тип. Чередование знаков у членов последовательности указывает на то, что она может быть геометрической прогрессией с отрицательным знаменателем. Проверим эту гипотезу, найдя отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = -9 / 3 = -3$; $b_3 / b_2 = 27 / (-9) = -3$; $b_4 / b_3 = -81 / 27 = -3$. Отношение постоянно и равно -3. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а ее знаменатель $q = -3$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = -3$.

15.33 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{3} $:

а) по недостатку;

б) по избытку.

Для того чтобы выписать последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{3}$, нам необходимо знать его значение с достаточной точностью.
Значение корня из трех является иррациональным числом: $\sqrt{3} \approx 1,7320508...$

Первые четыре члена последовательности — это приближения с точностью до целых (0 знаков после запятой), до десятых (1 знак), до сотых (2 знака) и до тысячных (3 знака).

а) по недостатку

Десятичное приближение по недостатку (или "снизу") — это наибольшее число с заданным количеством десятичных знаков, которое не превосходит исходное число. Для положительных чисел это равносильно отбрасыванию цифр в разрядах, следующих за последним требуемым знаком.

1. Приближение с точностью до целых:
Ищем наибольшее целое число, которое меньше или равно $1,732...$ Это число 1.
Так как $1^2 = 1 < 3$ и $2^2 = 4 > 3$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Первый член последовательности: 1.

2. Приближение с точностью до десятых:
В числе $1,73205...$ отбрасываем все цифры после первой цифры после запятой. Получаем 1,7.
Проверка: $1,7^2 = 2,89 < 3$. Второй член последовательности: 1,7.

3. Приближение с точностью до сотых:
В числе $1,73205...$ отбрасываем все цифры после второй цифры после запятой. Получаем 1,73.
Проверка: $1,73^2 = 2,9929 < 3$. Третий член последовательности: 1,73.

4. Приближение с точностью до тысячных:
В числе $1,73205...$ отбрасываем все цифры после третьей цифры после запятой. Получаем 1,732.
Проверка: $1,732^2 = 2,999824 < 3$. Четвертый член последовательности: 1,732.

Ответ: 1; 1,7; 1,73; 1,732.

б) по избытку

Десятичное приближение по избытку (или "сверху") — это наименьшее число с заданным количеством десятичных знаков, которое не меньше исходного числа. Для иррациональных чисел его можно получить, если к приближению по недостатку прибавить единицу в последнем значащем разряде.

1. Приближение с точностью до целых:
Ищем наименьшее целое число, которое больше или равно $1,732...$ Это число 2.
Из неравенства $1 < \sqrt{3} < 2$ следует, что первый член последовательности: 2.

2. Приближение с точностью до десятых:
Берем приближение по недостатку 1,7 и прибавляем 0,1. Получаем $1,7 + 0,1 = 1,8$.
Проверка: $1,8^2 = 3,24 > 3$. Второй член последовательности: 1,8.

3. Приближение с точностью до сотых:
Берем приближение по недостатку 1,73 и прибавляем 0,01. Получаем $1,73 + 0,01 = 1,74$.
Проверка: $1,74^2 = 3,0276 > 3$. Третий член последовательности: 1,74.

4. Приближение с точностью до тысячных:
Берем приближение по недостатку 1,732 и прибавляем 0,001. Получаем $1,732 + 0,001 = 1,733$.
Проверка: $1,733^2 \approx 3,003289 > 3$. Четвертый член последовательности: 1,733.

Ответ: 2; 1,8; 1,74; 1,733.

15.34 Найдите сумму первых семи членов последовательности, заданной словесно: $n$-й член последовательности равен десятичной дроби, целая часть которой равна нулю, а после запятой стоят подряд ровно $n$ единиц.

Согласно условию, n-й член последовательности, обозначим его $a_n$, представляет собой десятичную дробь, у которой целая часть равна нулю, а после запятой следует ровно $n$ единиц.

Выпишем первые семь членов этой последовательности:

• $a_1 = 0.1$
• $a_2 = 0.11$
• $a_3 = 0.111$
• $a_4 = 0.1111$
• $a_5 = 0.11111$
• $a_6 = 0.111111$
• $a_7 = 0.1111111$

Нам необходимо найти сумму этих семи членов. Обозначим эту сумму как $S_7$.

$S_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$

$S_7 = 0.1 + 0.11 + 0.111 + 0.1111 + 0.11111 + 0.111111 + 0.1111111$

Для нахождения суммы проще всего сложить эти числа в столбик, выровняв их по десятичной запятой:

 0.1 0.11 0.111 0.1111 0.11111 0.111111+ 0.1111111----------- 0.7654321

Рассмотрим сложение по разрядам, начиная справа:

• В седьмом разряде после запятой (десятимиллионные) есть только одна цифра 1 (из члена $a_7$), поэтому итоговая цифра — 1.
• В шестом разряде (миллионные) есть две цифры 1 (из членов $a_6$ и $a_7$), их сумма равна 2.
• В пятом разряде (стотысячные) есть три цифры 1 (из $a_5, a_6, a_7$), их сумма равна 3.
• В четвертом разряде (десятитысячные) — четыре цифры 1, их сумма равна 4.
• В третьем разряде (тысячные) — пять цифр 1, их сумма равна 5.
• Во втором разряде (сотые) — шесть цифр 1, их сумма равна 6.
• В первом разряде (десятые) — семь цифр 1, их сумма равна 7.

Таким образом, в результате сложения получаем число 0,7654321.

Ответ: $0.7654321$.

15.35 Укажите номер члена последовательности $x_n = \frac{n + 1}{3n + 2}$, равного:

а) $\frac{5}{14}$

б) $\frac{14}{41}$

в) $\frac{6}{13}$

г) $\frac{8}{23}$

Чтобы найти номер члена последовательности $x_n = \frac{n+1}{3n+2}$, равного заданному значению, нужно приравнять формулу для $n$-го члена к этому значению и решить полученное уравнение относительно $n$. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом.

а)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{5}{14}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{5}{14}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$14(n+1) = 5(3n+2)$

Раскроем скобки:

$14n + 14 = 15n + 10$

Сгруппируем слагаемые с $n$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$14 - 10 = 15n - 14n$

$n = 4$

Число 4 является натуральным, следовательно, это искомый номер члена последовательности.

Ответ: 4.

б)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{14}{41}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{14}{41}$

Решаем уравнение по аналогии с предыдущим пунктом:

$41(n+1) = 14(3n+2)$

$41n + 41 = 42n + 28$

$41 - 28 = 42n - 41n$

$n = 13$

Число 13 является натуральным, следовательно, это искомый номер члена последовательности.

Ответ: 13.

в)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{6}{13}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{6}{13}$

Решаем уравнение:

$13(n+1) = 6(3n+2)$

$13n + 13 = 18n + 12$

$13 - 12 = 18n - 13n$

$1 = 5n$

$n = \frac{1}{5}$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, а мы получили дробное значение, это означает, что члена последовательности, равного $\frac{6}{13}$, не существует.

Ответ: члена последовательности с таким значением не существует.

г)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{8}{23}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{8}{23}$

Решаем уравнение:

$23(n+1) = 8(3n+2)$

$23n + 23 = 24n + 16$

$23 - 16 = 24n - 23n$

$n = 7$

Число 7 является натуральным, следовательно, это искомый номер члена последовательности.

Ответ: 7.