Номер 15.33, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.33 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{3} $:

а) по недостатку;

б) по избытку.

Для того чтобы выписать последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{3}$, нам необходимо знать его значение с достаточной точностью.
Значение корня из трех является иррациональным числом: $\sqrt{3} \approx 1,7320508...$

Первые четыре члена последовательности — это приближения с точностью до целых (0 знаков после запятой), до десятых (1 знак), до сотых (2 знака) и до тысячных (3 знака).

а) по недостатку

Десятичное приближение по недостатку (или "снизу") — это наибольшее число с заданным количеством десятичных знаков, которое не превосходит исходное число. Для положительных чисел это равносильно отбрасыванию цифр в разрядах, следующих за последним требуемым знаком.

1. Приближение с точностью до целых:
Ищем наибольшее целое число, которое меньше или равно $1,732...$ Это число 1.
Так как $1^2 = 1 < 3$ и $2^2 = 4 > 3$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Первый член последовательности: 1.

2. Приближение с точностью до десятых:
В числе $1,73205...$ отбрасываем все цифры после первой цифры после запятой. Получаем 1,7.
Проверка: $1,7^2 = 2,89 < 3$. Второй член последовательности: 1,7.

3. Приближение с точностью до сотых:
В числе $1,73205...$ отбрасываем все цифры после второй цифры после запятой. Получаем 1,73.
Проверка: $1,73^2 = 2,9929 < 3$. Третий член последовательности: 1,73.

4. Приближение с точностью до тысячных:
В числе $1,73205...$ отбрасываем все цифры после третьей цифры после запятой. Получаем 1,732.
Проверка: $1,732^2 = 2,999824 < 3$. Четвертый член последовательности: 1,732.

Ответ: 1; 1,7; 1,73; 1,732.

б) по избытку

Десятичное приближение по избытку (или "сверху") — это наименьшее число с заданным количеством десятичных знаков, которое не меньше исходного числа. Для иррациональных чисел его можно получить, если к приближению по недостатку прибавить единицу в последнем значащем разряде.

1. Приближение с точностью до целых:
Ищем наименьшее целое число, которое больше или равно $1,732...$ Это число 2.
Из неравенства $1 < \sqrt{3} < 2$ следует, что первый член последовательности: 2.

2. Приближение с точностью до десятых:
Берем приближение по недостатку 1,7 и прибавляем 0,1. Получаем $1,7 + 0,1 = 1,8$.
Проверка: $1,8^2 = 3,24 > 3$. Второй член последовательности: 1,8.

3. Приближение с точностью до сотых:
Берем приближение по недостатку 1,73 и прибавляем 0,01. Получаем $1,73 + 0,01 = 1,74$.
Проверка: $1,74^2 = 3,0276 > 3$. Третий член последовательности: 1,74.

4. Приближение с точностью до тысячных:
Берем приближение по недостатку 1,732 и прибавляем 0,001. Получаем $1,732 + 0,001 = 1,733$.
Проверка: $1,733^2 \approx 3,003289 > 3$. Четвертый член последовательности: 1,733.

Ответ: 2; 1,8; 1,74; 1,733.