Номер 15.39, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.39 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности $(x_n)$ будут больше заданного числа $A$:

а) $x_n = 2n - 5$, $A = 10$;

б) $x_n = 3^{n-1}$, $A = 30$;

в) $x_n = n^2 - 27$, $A = -2$;

г) $x_n = 2^{n-5}$, $A = 1,5$.

а) Для того чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены последовательности $x_n = 2n - 5$ будут больше числа $A = 10$, необходимо решить неравенство $x_n > A$.
$2n - 5 > 10$
Прибавим 5 к обеим частям неравенства:
$2n > 15$
Разделим обе части на 2:
$n > 7.5$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом (номер члена последовательности), наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 8. Так как данная последовательность является возрастающей, все последующие члены также будут больше 10.
Ответ: 8

б) Для последовательности $x_n = 3^{n-1}$ и числа $A = 30$ найдем наименьший номер $n$, для которого выполняется $x_n > A$.
$3^{n-1} > 30$
Рассмотрим степени числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
Из этого видно, что $3^3 = 27 \le 30$, а $3^4 = 81 > 30$. Следовательно, показатель степени $n-1$ должен быть как минимум равен 4.
$n - 1 \ge 4$
$n \ge 5$
Наименьший целый номер $n$, удовлетворяющий этому условию, равен 5. Последовательность возрастающая, поэтому все члены с номерами $n \ge 5$ будут больше 30.
Ответ: 5

в) Для последовательности $x_n = n^2 - 27$ и числа $A = -2$ найдем наименьший номер $n$, для которого выполняется $x_n > A$.
$n^2 - 27 > -2$
Прибавим 27 к обеим частям неравенства:
$n^2 > 25$
Так как $n$ — это натуральное число, извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$n > \sqrt{25}$
$n > 5$
Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 6. Последовательность $x_n = n^2 - 27$ возрастает для всех натуральных $n$, поэтому для всех $n \ge 6$ члены последовательности будут больше -2.
Ответ: 6

г) Для последовательности $x_n = 2^{n-5}$ и числа $A = 1.5$ найдем наименьший номер $n$, для которого выполняется $x_n > A$.
$2^{n-5} > 1.5$
Рассмотрим степени числа 2:
$2^0 = 1$
$2^1 = 2$
Мы видим, что $1 \le 1.5$, а $2 > 1.5$. Это означает, что показатель степени $n-5$ должен быть больше, чем $\log_2(1.5)$. Так как $0 < \log_2(1.5) < 1$, наименьшее целое значение, которое может принимать показатель $n-5$, чтобы неравенство выполнялось, это 1.
Проверим это, подставляя значения $n$:
При $n=5$, $x_5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1 \le 1.5$.
При $n=6$, $x_6 = 2^{6-5} = 2^1 = 2 > 1.5$.
Таким образом, наименьший номер $n$, с которого все члены последовательности будут больше 1.5, равен 6.
Ответ: 6