Номер 15.36, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Прогрессии. Параграф 15. Числовые последовательности - номер 15.36, страница 96.

Условие.

15.36 Последовательность задана формулой $a_n = (2n - 1)(3n + 2)$. Является ли членом последовательности число:

а) 0;

б) 24;

в) 153;

г) -2?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, заданной формулой $a_n = (2n - 1)(3n + 2)$, необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$ (то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), для которого $a_n$ равно этому числу. Если решение $n$ является натуральным числом, то число является членом последовательности.

а) 0

Проверим, является ли число 0 членом последовательности. Для этого решим уравнение $a_n = 0$:
$(2n - 1)(3n + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2n - 1 = 0$ или $3n + 2 = 0$
$2n = 1 \implies n = \frac{1}{2}$
$3n = -2 \implies n = -\frac{2}{3}$
Ни одно из найденных значений $n$ не является натуральным числом. Следовательно, число 0 не является членом данной последовательности.
Ответ: не является.

б) 24

Проверим, является ли число 24 членом последовательности. Решим уравнение $a_n = 24$:
$(2n - 1)(3n + 2) = 24$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$6n^2 + 4n - 3n - 2 = 24$
$6n^2 + n - 2 - 24 = 0$
$6n^2 + n - 26 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625$
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 25}{12}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 - 25}{12} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$
$n_2 = \frac{-1 + 25}{12} = \frac{24}{12} = 2$
Корень $n_2 = 2$ является натуральным числом. Следовательно, число 24 является вторым членом последовательности ($a_2 = 24$).
Ответ: является.

в) 153

Проверим, является ли число 153 членом последовательности. Решим уравнение $a_n = 153$:
$(2n - 1)(3n + 2) = 153$
$6n^2 + n - 2 = 153$
$6n^2 + n - 155 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-155) = 1 + 3720 = 3721$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{3721}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 61}{12}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 - 61}{12} = \frac{-62}{12} = -\frac{31}{6}$
$n_2 = \frac{-1 + 61}{12} = \frac{60}{12} = 5$
Корень $n_2 = 5$ является натуральным числом. Следовательно, число 153 является пятым членом последовательности ($a_5 = 153$).
Ответ: является.

г) -2

Проверим, является ли число -2 членом последовательности.
Поскольку номер члена последовательности $n$ по определению является натуральным числом ($n \ge 1$), то оба множителя в формуле $a_n$ всегда будут положительными:
$2n - 1 \ge 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$
$3n + 2 \ge 3 \cdot 1 + 2 = 5 > 0$
Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, все члены данной последовательности $a_n$ являются положительными числами. Число -2 отрицательное, поэтому оно не может быть членом этой последовательности.

В качестве альтернативной проверки решим уравнение $a_n = -2$:
$(2n - 1)(3n + 2) = -2$
$6n^2 + n - 2 = -2$
$6n^2 + n = 0$
$n(6n + 1) = 0$
Отсюда $n = 0$ или $6n + 1 = 0 \implies n = -\frac{1}{6}$.
Ни одно из этих значений не является натуральным числом.
Ответ: не является.