Номер 15.35, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.35 Укажите номер члена последовательности $x_n = \frac{n + 1}{3n + 2}$, равного:

а) $\frac{5}{14}$

б) $\frac{14}{41}$

в) $\frac{6}{13}$

г) $\frac{8}{23}$

Чтобы найти номер члена последовательности $x_n = \frac{n+1}{3n+2}$, равного заданному значению, нужно приравнять формулу для $n$-го члена к этому значению и решить полученное уравнение относительно $n$. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом.

а)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{5}{14}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{5}{14}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$14(n+1) = 5(3n+2)$

Раскроем скобки:

$14n + 14 = 15n + 10$

Сгруппируем слагаемые с $n$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$14 - 10 = 15n - 14n$

$n = 4$

Число 4 является натуральным, следовательно, это искомый номер члена последовательности.

Ответ: 4.

б)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{14}{41}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{14}{41}$

Решаем уравнение по аналогии с предыдущим пунктом:

$41(n+1) = 14(3n+2)$

$41n + 41 = 42n + 28$

$41 - 28 = 42n - 41n$

$n = 13$

Число 13 является натуральным, следовательно, это искомый номер члена последовательности.

Ответ: 13.

в)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{6}{13}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{6}{13}$

Решаем уравнение:

$13(n+1) = 6(3n+2)$

$13n + 13 = 18n + 12$

$13 - 12 = 18n - 13n$

$1 = 5n$

$n = \frac{1}{5}$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, а мы получили дробное значение, это означает, что члена последовательности, равного $\frac{6}{13}$, не существует.

Ответ: члена последовательности с таким значением не существует.

г)

Найдем номер $n$, для которого $x_n = \frac{8}{23}$.

$\frac{n+1}{3n+2} = \frac{8}{23}$

Решаем уравнение:

$23(n+1) = 8(3n+2)$

$23n + 23 = 24n + 16$

$23 - 16 = 24n - 23n$

$n = 7$

Число 7 является натуральным, следовательно, это искомый номер члена последовательности.

Ответ: 7.