Номер 15.32, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Числовые последовательности. Глава 4. Прогрессии. ч. 2 - номер 15.32, страница 95.

15.32 a) 2, 6, 18, 54, 162, ...;

б) 1, 8, 15, 22, 29, ...;

В) $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots $;

Г) 3, -9, 27, -81, 243, ...;

а) Для последовательности 2, 6, 18, 54, 162, ... определим ее тип. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, для чего найдем разность между соседними членами: $a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$; $a_3 - a_2 = 18 - 6 = 12$. Поскольку разности не равны ($4 \neq 12$), последовательность не является арифметической.

Теперь проверим, является ли она геометрической прогрессией, для чего найдем отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = 6 / 2 = 3$; $b_3 / b_2 = 18 / 6 = 3$; $b_4 / b_3 = 54 / 18 = 3$. Отношение постоянно и равно 3. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$, а ее знаменатель $q = 3$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 2$ и знаменателем $q = 3$.

б) Для последовательности 1, 8, 15, 22, 29, ... определим ее тип. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, найдя разность между соседними членами: $a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$; $a_3 - a_2 = 15 - 8 = 7$; $a_4 - a_3 = 22 - 15 = 7$. Разность постоянна и равна 7. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а ее разность $d = 7$.
Ответ: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 7$.

в) Для последовательности $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$ определим ее тип. Проверим на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$; разность $a_3 - a_2 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}$. Разности не равны, следовательно, это не арифметическая прогрессия.

Проверим на геометрическую прогрессию, найдя отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$; $b_3 / b_2 = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{2}$. Отношение постоянно и равно $1/2$. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$, а ее знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

г) Для последовательности 3, -9, 27, -81, 243, ... определим ее тип. Чередование знаков у членов последовательности указывает на то, что она может быть геометрической прогрессией с отрицательным знаменателем. Проверим эту гипотезу, найдя отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = -9 / 3 = -3$; $b_3 / b_2 = 27 / (-9) = -3$; $b_4 / b_3 = -81 / 27 = -3$. Отношение постоянно и равно -3. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а ее знаменатель $q = -3$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = -3$.