Номер 15.32, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Прогрессии. Параграф 15. Числовые последовательности - номер 15.32, страница 95.

Условие.

15.32 a) 2, 6, 18, 54, 162, ...;

б) 1, 8, 15, 22, 29, ...;

В) $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots $;

Г) 3, -9, 27, -81, 243, ...;

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для последовательности 2, 6, 18, 54, 162, ... определим ее тип. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, для чего найдем разность между соседними членами: $a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$; $a_3 - a_2 = 18 - 6 = 12$. Поскольку разности не равны ($4 \neq 12$), последовательность не является арифметической.

Теперь проверим, является ли она геометрической прогрессией, для чего найдем отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = 6 / 2 = 3$; $b_3 / b_2 = 18 / 6 = 3$; $b_4 / b_3 = 54 / 18 = 3$. Отношение постоянно и равно 3. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$, а ее знаменатель $q = 3$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 2$ и знаменателем $q = 3$.

б) Для последовательности 1, 8, 15, 22, 29, ... определим ее тип. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, найдя разность между соседними членами: $a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$; $a_3 - a_2 = 15 - 8 = 7$; $a_4 - a_3 = 22 - 15 = 7$. Разность постоянна и равна 7. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а ее разность $d = 7$.
Ответ: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 7$.

в) Для последовательности $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$ определим ее тип. Проверим на арифметическую прогрессию: разность $a_2 - a_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$; разность $a_3 - a_2 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}$. Разности не равны, следовательно, это не арифметическая прогрессия.

Проверим на геометрическую прогрессию, найдя отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$; $b_3 / b_2 = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{2}$. Отношение постоянно и равно $1/2$. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$, а ее знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

г) Для последовательности 3, -9, 27, -81, 243, ... определим ее тип. Чередование знаков у членов последовательности указывает на то, что она может быть геометрической прогрессией с отрицательным знаменателем. Проверим эту гипотезу, найдя отношение соседних членов: $b_2 / b_1 = -9 / 3 = -3$; $b_3 / b_2 = 27 / (-9) = -3$; $b_4 / b_3 = -81 / 27 = -3$. Отношение постоянно и равно -3. Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а ее знаменатель $q = -3$.
Ответ: Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = -3$.