Номер 15.31, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Задайте последовательность рекуррентным способом:

15.31 a) 2, 2, 2, 2, ...;

б) 2, 4, 6, 8, 10, ...;

в) 9, 7, 5, 3, 1, ...;

г) 5, -5, 5, -5, 5, -5, ....

а) Дана последовательность, которую обозначим как $a_n$: 2, 2, 2, 2, ...
Это стационарная, или постоянная, последовательность.
Первый член последовательности $a_1 = 2$.
Каждый последующий член равен предыдущему. Например, $a_2 = 2 = a_1$, $a_3 = 2 = a_2$, и так далее.
Следовательно, рекуррентная формула, задающая эту последовательность, имеет вид $a_{n+1} = a_n$.
Для полного рекуррентного задания последовательности необходимо указать ее первый член и саму рекуррентную формулу.
Ответ: $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n$.

б) Дана последовательность, которую обозначим как $b_n$: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Это арифметическая прогрессия.
Первый член последовательности $b_1 = 2$.
Найдем разность между соседними членами, чтобы определить шаг прогрессии:
$b_2 - b_1 = 4 - 2 = 2$
$b_3 - b_2 = 6 - 4 = 2$
$b_4 - b_3 = 8 - 6 = 2$
Разность постоянна и равна 2. Это означает, что каждый следующий член получается путем прибавления числа 2 к предыдущему члену.
Таким образом, рекуррентная формула имеет вид: $b_{n+1} = b_n + 2$.
Ответ: $b_1 = 2$, $b_{n+1} = b_n + 2$.

в) Дана последовательность, которую обозначим как $c_n$: 9, 7, 5, 3, 1, ...
Это также арифметическая прогрессия.
Первый член последовательности $c_1 = 9$.
Найдем разность между соседними членами:
$c_2 - c_1 = 7 - 9 = -2$
$c_3 - c_2 = 5 - 7 = -2$
$c_4 - c_3 = 3 - 5 = -2$
Разность постоянна и равна -2. Это означает, что каждый следующий член получается путем вычитания числа 2 из предыдущего члена.
Рекуррентная формула, описывающая эту зависимость: $c_{n+1} = c_n - 2$.
Ответ: $c_1 = 9$, $c_{n+1} = c_n - 2$.

г) Дана последовательность, которую обозначим как $d_n$: 5, -5, 5, -5, 5, -5, ...
Это знакочередующаяся последовательность. Можно заметить, что она является геометрической прогрессией.
Первый член последовательности $d_1 = 5$.
Найдем отношение соседних членов, чтобы определить знаменатель прогрессии:
$d_2 / d_1 = -5 / 5 = -1$
$d_3 / d_2 = 5 / (-5) = -1$
$d_4 / d_3 = -5 / 5 = -1$
Отношение постоянно и равно -1. Это означает, что каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на -1.
Рекуррентная формула имеет вид: $d_{n+1} = d_n \cdot (-1)$ или, что то же самое, $d_{n+1} = -d_n$.
Ответ: $d_1 = 5$, $d_{n+1} = -d_n$.