Номер 15.37, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15.37 Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т. е. найдите формулу её $n$-го члена:

а) $x_1 = 3, x_n = x_{n-1} + 5 (n = 2, 3, 4, ...)$;

б) $x_1 = 2, x_n = 3x_{n-1} (n = 2, 3, 4, ...)$;

в) $x_1 = 11, x_n = x_{n-1} - 4 (n = 2, 3, 4, ...)$;

г) $x_1 = 3, x_n = \frac{x_{n-1}}{2} (n = 2, 3, 4, ...)$.

а) Дана последовательность: $x_1 = 3$, $x_n = x_{n-1} + 5$ для $n=2, 3, 4, ...$

Данная рекуррентная формула описывает арифметическую прогрессию, поскольку каждый последующий член получается из предыдущего путем прибавления постоянного числа $d=5$.

Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 3$.

Разность прогрессии $d = 5$.

Общая формула для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения для данной последовательности, получим аналитическую формулу:

$x_n = 3 + (n-1) \cdot 5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$.

Проверим результат для первых нескольких членов:

При $n=1$: $x_1 = 5 \cdot 1 - 2 = 3$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 5 \cdot 2 - 2 = 8$. По рекуррентной формуле $x_2 = x_1 + 5 = 3 + 5 = 8$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 5 \cdot 3 - 2 = 13$. По рекуррентной формуле $x_3 = x_2 + 5 = 8 + 5 = 13$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 5n - 2$.

б) Дана последовательность: $x_1 = 2$, $x_n = 3x_{n-1}$ для $n=2, 3, 4, ...$

Данная рекуррентная формула описывает геометрическую прогрессию, поскольку каждый последующий член получается из предыдущего путем умножения на постоянное число $q=3$.

Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = 2$.

Знаменатель прогрессии $q = 3$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив значения для данной последовательности, получим аналитическую формулу:

$x_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

Проверим результат для первых нескольких членов:

При $n=1$: $x_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 2 \cdot 3^{2-1} = 2 \cdot 3^1 = 6$. По рекуррентной формуле $x_2 = 3x_1 = 3 \cdot 2 = 6$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 2 \cdot 3^{3-1} = 2 \cdot 3^2 = 18$. По рекуррентной формуле $x_3 = 3x_2 = 3 \cdot 6 = 18$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

в) Дана последовательность: $x_1 = 11$, $x_n = x_{n-1} - 4$ для $n=2, 3, 4, ...$

Это арифметическая прогрессия с разностью $d=-4$.

Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 11$.

Разность прогрессии $d = -4$.

Используем общую формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив наши значения, находим формулу:

$x_n = 11 + (n-1) \cdot (-4) = 11 - 4n + 4 = 15 - 4n$.

Проверим результат:

При $n=1$: $x_1 = 15 - 4 \cdot 1 = 11$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 15 - 4 \cdot 2 = 7$. По рекуррентной формуле $x_2 = x_1 - 4 = 11 - 4 = 7$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 15 - 4 \cdot 3 = 3$. По рекуррентной формуле $x_3 = x_2 - 4 = 7 - 4 = 3$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 15 - 4n$.

г) Дана последовательность: $x_1 = 3$, $x_n = \frac{x_{n-1}}{2}$ для $n=2, 3, 4, ...$

Рекуррентную формулу можно переписать как $x_n = \frac{1}{2} x_{n-1}$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, находим формулу:

$x_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Эту формулу также можно записать в виде $x_n = \frac{3}{2^{n-1}}$.

Проверим результат:

При $n=1$: $x_1 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{1-1} = 3 \cdot (\frac{1}{2})^0 = 3 \cdot 1 = 3$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{2-1} = \frac{3}{2}$. По рекуррентной формуле $x_2 = \frac{x_1}{2} = \frac{3}{2}$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{3-1} = \frac{3}{4}$. По рекуррентной формуле $x_3 = \frac{x_2}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.