Страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.36 Последовательность задана формулой $a_n = (2n - 1)(3n + 2)$. Является ли членом последовательности число:

а) 0;

б) 24;

в) 153;

г) -2?

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, заданной формулой $a_n = (2n - 1)(3n + 2)$, необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$ (то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), для которого $a_n$ равно этому числу. Если решение $n$ является натуральным числом, то число является членом последовательности.

а) 0

Проверим, является ли число 0 членом последовательности. Для этого решим уравнение $a_n = 0$:
$(2n - 1)(3n + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2n - 1 = 0$ или $3n + 2 = 0$
$2n = 1 \implies n = \frac{1}{2}$
$3n = -2 \implies n = -\frac{2}{3}$
Ни одно из найденных значений $n$ не является натуральным числом. Следовательно, число 0 не является членом данной последовательности.
Ответ: не является.

б) 24

Проверим, является ли число 24 членом последовательности. Решим уравнение $a_n = 24$:
$(2n - 1)(3n + 2) = 24$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$6n^2 + 4n - 3n - 2 = 24$
$6n^2 + n - 2 - 24 = 0$
$6n^2 + n - 26 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625$
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 25}{12}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 - 25}{12} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$
$n_2 = \frac{-1 + 25}{12} = \frac{24}{12} = 2$
Корень $n_2 = 2$ является натуральным числом. Следовательно, число 24 является вторым членом последовательности ($a_2 = 24$).
Ответ: является.

в) 153

Проверим, является ли число 153 членом последовательности. Решим уравнение $a_n = 153$:
$(2n - 1)(3n + 2) = 153$
$6n^2 + n - 2 = 153$
$6n^2 + n - 155 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-155) = 1 + 3720 = 3721$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{3721}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 61}{12}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 - 61}{12} = \frac{-62}{12} = -\frac{31}{6}$
$n_2 = \frac{-1 + 61}{12} = \frac{60}{12} = 5$
Корень $n_2 = 5$ является натуральным числом. Следовательно, число 153 является пятым членом последовательности ($a_5 = 153$).
Ответ: является.

г) -2

Проверим, является ли число -2 членом последовательности.
Поскольку номер члена последовательности $n$ по определению является натуральным числом ($n \ge 1$), то оба множителя в формуле $a_n$ всегда будут положительными:
$2n - 1 \ge 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$
$3n + 2 \ge 3 \cdot 1 + 2 = 5 > 0$
Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, все члены данной последовательности $a_n$ являются положительными числами. Число -2 отрицательное, поэтому оно не может быть членом этой последовательности.

В качестве альтернативной проверки решим уравнение $a_n = -2$:
$(2n - 1)(3n + 2) = -2$
$6n^2 + n - 2 = -2$
$6n^2 + n = 0$
$n(6n + 1) = 0$
Отсюда $n = 0$ или $6n + 1 = 0 \implies n = -\frac{1}{6}$.
Ни одно из этих значений не является натуральным числом.
Ответ: не является.

15.37 Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т. е. найдите формулу её $n$-го члена:

а) $x_1 = 3, x_n = x_{n-1} + 5 (n = 2, 3, 4, ...)$;

б) $x_1 = 2, x_n = 3x_{n-1} (n = 2, 3, 4, ...)$;

в) $x_1 = 11, x_n = x_{n-1} - 4 (n = 2, 3, 4, ...)$;

г) $x_1 = 3, x_n = \frac{x_{n-1}}{2} (n = 2, 3, 4, ...)$.

а) Дана последовательность: $x_1 = 3$, $x_n = x_{n-1} + 5$ для $n=2, 3, 4, ...$

Данная рекуррентная формула описывает арифметическую прогрессию, поскольку каждый последующий член получается из предыдущего путем прибавления постоянного числа $d=5$.

Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 3$.

Разность прогрессии $d = 5$.

Общая формула для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения для данной последовательности, получим аналитическую формулу:

$x_n = 3 + (n-1) \cdot 5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$.

Проверим результат для первых нескольких членов:

При $n=1$: $x_1 = 5 \cdot 1 - 2 = 3$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 5 \cdot 2 - 2 = 8$. По рекуррентной формуле $x_2 = x_1 + 5 = 3 + 5 = 8$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 5 \cdot 3 - 2 = 13$. По рекуррентной формуле $x_3 = x_2 + 5 = 8 + 5 = 13$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 5n - 2$.

б) Дана последовательность: $x_1 = 2$, $x_n = 3x_{n-1}$ для $n=2, 3, 4, ...$

Данная рекуррентная формула описывает геометрическую прогрессию, поскольку каждый последующий член получается из предыдущего путем умножения на постоянное число $q=3$.

Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = 2$.

Знаменатель прогрессии $q = 3$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив значения для данной последовательности, получим аналитическую формулу:

$x_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

Проверим результат для первых нескольких членов:

При $n=1$: $x_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 2 \cdot 3^{2-1} = 2 \cdot 3^1 = 6$. По рекуррентной формуле $x_2 = 3x_1 = 3 \cdot 2 = 6$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 2 \cdot 3^{3-1} = 2 \cdot 3^2 = 18$. По рекуррентной формуле $x_3 = 3x_2 = 3 \cdot 6 = 18$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

в) Дана последовательность: $x_1 = 11$, $x_n = x_{n-1} - 4$ для $n=2, 3, 4, ...$

Это арифметическая прогрессия с разностью $d=-4$.

Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 11$.

Разность прогрессии $d = -4$.

Используем общую формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив наши значения, находим формулу:

$x_n = 11 + (n-1) \cdot (-4) = 11 - 4n + 4 = 15 - 4n$.

Проверим результат:

При $n=1$: $x_1 = 15 - 4 \cdot 1 = 11$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 15 - 4 \cdot 2 = 7$. По рекуррентной формуле $x_2 = x_1 - 4 = 11 - 4 = 7$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 15 - 4 \cdot 3 = 3$. По рекуррентной формуле $x_3 = x_2 - 4 = 7 - 4 = 3$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 15 - 4n$.

г) Дана последовательность: $x_1 = 3$, $x_n = \frac{x_{n-1}}{2}$ для $n=2, 3, 4, ...$

Рекуррентную формулу можно переписать как $x_n = \frac{1}{2} x_{n-1}$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, находим формулу:

$x_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Эту формулу также можно записать в виде $x_n = \frac{3}{2^{n-1}}$.

Проверим результат:

При $n=1$: $x_1 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{1-1} = 3 \cdot (\frac{1}{2})^0 = 3 \cdot 1 = 3$ (соответствует условию).

При $n=2$: $x_2 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{2-1} = \frac{3}{2}$. По рекуррентной формуле $x_2 = \frac{x_1}{2} = \frac{3}{2}$ (совпадает).

При $n=3$: $x_3 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{3-1} = \frac{3}{4}$. По рекуррентной формуле $x_3 = \frac{x_2}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$ (совпадает).

Ответ: $x_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

15.38 Постройте график последовательности:

a) $y_n = \frac{3 - n}{2}$;

б) $y_n = \frac{1}{n + 1}$;

в) $y_n = n^2 - 4$;

г) $y_n = \frac{3n}{2}$.

а) Дана последовательность $y_n = \frac{3 - n}{2}$.

График числовой последовательности состоит из набора изолированных точек с координатами $(n; y_n)$, где $n$ — номер члена последовательности, который является натуральным числом ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Вычислим координаты нескольких первых точек графика данной последовательности:
при $n=1$: $y_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$. Точка $(1; 1)$.
при $n=2$: $y_2 = \frac{3 - 2}{2} = 0.5$. Точка $(2; 0.5)$.
при $n=3$: $y_3 = \frac{3 - 3}{2} = 0$. Точка $(3; 0)$.
при $n=4$: $y_4 = \frac{3 - 4}{2} = -0.5$. Точка $(4; -0.5)$.
при $n=5$: $y_5 = \frac{3 - 5}{2} = -1$. Точка $(5; -1)$.

Все эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{3-x}{2}$ или $y = -0.5x + 1.5$. Таким образом, чтобы построить график, нужно начертить эту прямую и отметить на ней точки, абсциссы которых являются натуральными числами.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, \frac{3-n}{2})$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на прямой $y = -0.5x + 1.5$.

б) Дана последовательность $y_n = \frac{1}{n + 1}$.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика:
при $n=1$: $y_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$. Точка $(1; 0.5)$.
при $n=2$: $y_2 = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$. Точка $(2; \frac{1}{3})$.
при $n=3$: $y_3 = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$. Точка $(3; 0.25)$.
при $n=4$: $y_4 = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$. Точка $(4; 0.2)$.
при $n=5$: $y_5 = \frac{1}{5 + 1} = \frac{1}{6}$. Точка $(5; \frac{1}{6})$.

Точки графика этой последовательности лежат на кривой, заданной функцией $y = \frac{1}{x+1}$, которая является гиперболой. Для построения графика нужно отметить на этой кривой точки, соответствующие натуральным значениям $x=n$.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, \frac{1}{n+1})$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на гиперболе $y = \frac{1}{x+1}$.

в) Дана последовательность $y_n = n^2 - 4$.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика:
при $n=1$: $y_1 = 1^2 - 4 = -3$. Точка $(1; -3)$.
при $n=2$: $y_2 = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$.
при $n=3$: $y_3 = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3; 5)$.
при $n=4$: $y_4 = 4^2 - 4 = 12$. Точка $(4; 12)$.
при $n=5$: $y_5 = 5^2 - 4 = 21$. Точка $(5; 21)$.

Точки графика этой последовательности лежат на кривой, заданной функцией $y = x^2 - 4$, которая является параболой. Для построения графика нужно отметить на этой параболе точки, соответствующие натуральным значениям $x=n$.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, n^2 - 4)$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на параболе $y = x^2 - 4$.

г) Дана последовательность $y_n = \frac{3n}{2}$.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика:
при $n=1$: $y_1 = \frac{3 \cdot 1}{2} = 1.5$. Точка $(1; 1.5)$.
при $n=2$: $y_2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Точка $(2; 3)$.
при $n=3$: $y_3 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5$. Точка $(3; 4.5)$.
при $n=4$: $y_4 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$. Точка $(4; 6)$.
при $n=5$: $y_5 = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7.5$. Точка $(5; 7.5)$.

Точки графика этой последовательности лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{3}{2}x$ или $y = 1.5x$. Для построения графика нужно начертить эту прямую и отметить на ней точки, абсциссы которых являются натуральными числами.

Ответ: Графиком последовательности является множество точек с координатами $(n, \frac{3n}{2})$, где $n$ — натуральное число. Эти точки лежат на прямой $y = 1.5x$.

15.39 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности $(x_n)$ будут больше заданного числа $A$:

а) $x_n = 2n - 5$, $A = 10$;

б) $x_n = 3^{n-1}$, $A = 30$;

в) $x_n = n^2 - 27$, $A = -2$;

г) $x_n = 2^{n-5}$, $A = 1,5$.

а) Для того чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены последовательности $x_n = 2n - 5$ будут больше числа $A = 10$, необходимо решить неравенство $x_n > A$.
$2n - 5 > 10$
Прибавим 5 к обеим частям неравенства:
$2n > 15$
Разделим обе части на 2:
$n > 7.5$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом (номер члена последовательности), наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 8. Так как данная последовательность является возрастающей, все последующие члены также будут больше 10.
Ответ: 8

б) Для последовательности $x_n = 3^{n-1}$ и числа $A = 30$ найдем наименьший номер $n$, для которого выполняется $x_n > A$.
$3^{n-1} > 30$
Рассмотрим степени числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
Из этого видно, что $3^3 = 27 \le 30$, а $3^4 = 81 > 30$. Следовательно, показатель степени $n-1$ должен быть как минимум равен 4.
$n - 1 \ge 4$
$n \ge 5$
Наименьший целый номер $n$, удовлетворяющий этому условию, равен 5. Последовательность возрастающая, поэтому все члены с номерами $n \ge 5$ будут больше 30.
Ответ: 5

в) Для последовательности $x_n = n^2 - 27$ и числа $A = -2$ найдем наименьший номер $n$, для которого выполняется $x_n > A$.
$n^2 - 27 > -2$
Прибавим 27 к обеим частям неравенства:
$n^2 > 25$
Так как $n$ — это натуральное число, извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$n > \sqrt{25}$
$n > 5$
Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 6. Последовательность $x_n = n^2 - 27$ возрастает для всех натуральных $n$, поэтому для всех $n \ge 6$ члены последовательности будут больше -2.
Ответ: 6

г) Для последовательности $x_n = 2^{n-5}$ и числа $A = 1.5$ найдем наименьший номер $n$, для которого выполняется $x_n > A$.
$2^{n-5} > 1.5$
Рассмотрим степени числа 2:
$2^0 = 1$
$2^1 = 2$
Мы видим, что $1 \le 1.5$, а $2 > 1.5$. Это означает, что показатель степени $n-5$ должен быть больше, чем $\log_2(1.5)$. Так как $0 < \log_2(1.5) < 1$, наименьшее целое значение, которое может принимать показатель $n-5$, чтобы неравенство выполнялось, это 1.
Проверим это, подставляя значения $n$:
При $n=5$, $x_5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1 \le 1.5$.
При $n=6$, $x_6 = 2^{6-5} = 2^1 = 2 > 1.5$.
Таким образом, наименьший номер $n$, с которого все члены последовательности будут больше 1.5, равен 6.
Ответ: 6

15.40 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности $(x_n)$ будут меньше заданного числа A:

а) $x_n = 3 - 2n, A = -9;$

б) $x_n = 3^{4-n}, A = 0,5;$

в) $x_n = 2 - 3n^2, A = -25;$

г) $x_n = 2^{5-n}, A = 0,75.$

Задача состоит в том, чтобы для каждой последовательности $(x_n)$ найти наименьший натуральный номер $n$, начиная с которого все члены последовательности будут меньше заданного числа $A$. Это означает, что нужно решить неравенство $x_n < A$ относительно $n$ и найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому решению.

а) $x_n = 3 - 2n$, $A = -9$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$3 - 2n < -9$

Перенесем 3 в правую часть:

$-2n < -9 - 3$

$-2n < -12$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n > \frac{-12}{-2}$

$n > 6$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее целое значение $n$, которое больше 6, это 7. Следовательно, начиная с 7-го члена, все члены последовательности будут меньше -9.

Ответ: 7

б) $x_n = 3^{4-n}$, $A = 0,5$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$3^{4-n} < 0,5$

$3^{4-n} < \frac{1}{2}$

Последовательность $x_n = 3^{4-n} = \frac{3^4}{3^n} = \frac{81}{3^n}$ является убывающей, так как с ростом $n$ знаменатель увеличивается, а дробь уменьшается. Мы можем найти искомый номер $n$ путем подбора, начиная с $n=1$.

При $n=1: x_1 = 3^{4-1} = 3^3 = 27 > 0,5$

При $n=2: x_2 = 3^{4-2} = 3^2 = 9 > 0,5$

При $n=3: x_3 = 3^{4-3} = 3^1 = 3 > 0,5$

При $n=4: x_4 = 3^{4-4} = 3^0 = 1 > 0,5$

При $n=5: x_5 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} \approx 0,333...$, а $0,333... < 0,5$, то неравенство выполняется.

Таким образом, наименьший номер, начиная с которого члены последовательности становятся меньше 0,5, это 5.

Ответ: 5

в) $x_n = 2 - 3n^2$, $A = -25$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$2 - 3n^2 < -25$

Перенесем 2 в правую часть:

$-3n^2 < -25 - 2$

$-3n^2 < -27$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:

$n^2 > \frac{-27}{-3}$

$n^2 > 9$

Так как $n$ - натуральное число ($n>0$), то извлекая квадратный корень, получаем:

$n > 3$

Наименьшее натуральное число, которое больше 3, это 4.

Ответ: 4

г) $x_n = 2^{5-n}$, $A = 0,75$

Составим и решим неравенство $x_n < A$:

$2^{5-n} < 0,75$

$2^{5-n} < \frac{3}{4}$

Последовательность $x_n = 2^{5-n}$ является убывающей. Найдем искомый номер $n$ путем подбора.

При $n=1: x_1 = 2^{5-1} = 2^4 = 16 > 0,75$

При $n=2: x_2 = 2^{5-2} = 2^3 = 8 > 0,75$

При $n=3: x_3 = 2^{5-3} = 2^2 = 4 > 0,75$

При $n=4: x_4 = 2^{5-4} = 2^1 = 2 > 0,75$

При $n=5: x_5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1 > 0,75$

При $n=6: x_6 = 2^{5-6} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$. Так как $0,5 < 0,75$, неравенство выполняется.

Наименьший номер, начиная с которого члены последовательности становятся меньше 0,75, это 6.

Ответ: 6

15.41 Докажите, что последовательность возрастает:

а) $a_n = 1 - \frac{1}{2n}$;

б) $b_n = \frac{n-1}{n}$;

в) $c_n = 1 - \frac{1}{2^n}$;

г) $d_n = \frac{5n}{n+1}$.

Для того чтобы доказать, что последовательность является возрастающей, необходимо показать, что каждый следующий её член больше предыдущего, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $x_{n+1} - x_n$ положительна.

а) Дана последовательность $a_n = 1 - \frac{1}{2n}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:

$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2(n+1)}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \left(1 - \frac{1}{2(n+1)}\right) - \left(1 - \frac{1}{2n}\right) = 1 - \frac{1}{2n+2} - 1 + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2n(n+1)$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{2n(n+1)} - \frac{n}{2n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{2n(n+1)} = \frac{1}{2n(n+1)}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n > 0$ и $n+1 > 0$. Следовательно, знаменатель $2n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 1, он также положителен. Таким образом, вся дробь положительна:

$\frac{1}{2n(n+1)} > 0$.

Так как $a_{n+1} - a_n > 0$, то $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $a_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

б) Дана последовательность $b_n = \frac{n-1}{n}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$b_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n(n+1)$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{n \cdot n}{n(n+1)} - \frac{(n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 1. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{1}{n(n+1)} > 0$.

Так как $b_{n+1} - b_n > 0$, то $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $b_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

в) Дана последовательность $c_n = 1 - \frac{1}{2^n}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$c_{n+1} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}}$.

Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:

$c_{n+1} - c_n = \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 1 - \frac{1}{2^{n+1}} - 1 + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2^{n+1}$ (учитывая, что $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$):

$c_{n+1} - c_n = \frac{2}{2 \cdot 2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2-1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}$.

Для любого натурального $n$, знаменатель $2^{n+1}$ является положительным числом. Числитель равен 1. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{1}{2^{n+1}} > 0$.

Так как $c_{n+1} - c_n > 0$, то $c_{n+1} > c_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $c_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

г) Дана последовательность $d_n = \frac{5n}{n+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$d_{n+1} = \frac{5(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{5n+5}{n+2}$.

Рассмотрим разность $d_{n+1} - d_n$:

$d_{n+1} - d_n = \frac{5n+5}{n+2} - \frac{5n}{n+1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(n+2)(n+1)$:

$d_{n+1} - d_n = \frac{(5n+5)(n+1)}{(n+2)(n+1)} - \frac{5n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{5n^2+5n+5n+5 - (5n^2+10n)}{(n+2)(n+1)}$.

$d_{n+1} - d_n = \frac{5n^2+10n+5 - 5n^2-10n}{(n+2)(n+1)} = \frac{5}{(n+2)(n+1)}$.

Так как $n \ge 1$, то $n+1 > 0$ и $n+2 > 0$. Знаменатель $(n+2)(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 5, он также положителен. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{5}{(n+2)(n+1)} > 0$.

Так как $d_{n+1} - d_n > 0$, то $d_{n+1} > d_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $d_n$ возрастает.

Ответ: последовательность возрастает, что и требовалось доказать.

15.42 Докажите, что последовательность убывает:

а) $a_n = \frac{1}{2n}$;

б) $b_n = \frac{n+1}{n}$;

в) $c_n = 1 + \frac{1}{3n}$;

г) $d_n = \frac{1}{3^n}$.

Чтобы доказать, что последовательность является убывающей, нужно показать, что каждый следующий ее член меньше предыдущего, то есть что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} < x_n$.

а) Дана последовательность $a_n = \frac{1}{2n}$.
Запишем ее $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = \frac{1}{2(n+1)}$.
Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности. Нам нужно доказать, что $a_{n+1} < a_n$:
$\frac{1}{2(n+1)} < \frac{1}{2n}$
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Значит, оба знаменателя $2(n+1)$ и $2n$ положительны. Мы можем умножить обе части неравенства на $2n(n+1)$, при этом знак неравенства не изменится:
$2n < 2(n+1)$
$2n < 2n + 2$
Вычтем $2n$ из обеих частей:
$0 < 2$
Это неравенство является верным. Следовательно, исходное неравенство $a_{n+1} < a_n$ также верно для любого натурального $n$. Таким образом, последовательность $a_n$ убывает.
Ответ: Последовательность $a_n$ убывает, так как было доказано, что $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$.

б) Дана последовательность $b_n = \frac{n+1}{n}$.
Для удобства преобразуем выражение: $b_n = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$.
Запишем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$.
Докажем, что $b_{n+1} < b_n$:
$1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{n}$
Вычтем 1 из обеих частей неравенства:
$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$
Так как $n$ — натуральное число, знаменатели $n+1$ и $n$ положительны. Умножим обе части на $n(n+1)$:
$n < n+1$
$0 < 1$
Это неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство $b_{n+1} < b_n$ верно для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность $b_n$ убывает.
Ответ: Последовательность $b_n$ убывает, так как было доказано, что $b_{n+1} < b_n$ для всех натуральных $n$.

в) Дана последовательность $c_n = 1 + \frac{1}{3n}$.
Запишем ее $(n+1)$-й член: $c_{n+1} = 1 + \frac{1}{3(n+1)}$.
Докажем, что $c_{n+1} < c_n$:
$1 + \frac{1}{3(n+1)} < 1 + \frac{1}{3n}$
Вычтем 1 из обеих частей:
$\frac{1}{3(n+1)} < \frac{1}{3n}$
Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатели $3(n+1)$ и $3n$ положительны. Умножим обе части на $3n(3(n+1))$:
$3n < 3(n+1)$
$3n < 3n + 3$
$0 < 3$
Это верное неравенство, поэтому исходное неравенство $c_{n+1} < c_n$ также верно для любого натурального $n$. Последовательность $c_n$ является убывающей.
Ответ: Последовательность $c_n$ убывает, так как было доказано, что $c_{n+1} < c_n$ для всех натуральных $n$.

г) Дана последовательность $d_n = \frac{1}{3^n}$.
Запишем ее $(n+1)$-й член: $d_{n+1} = \frac{1}{3^{n+1}}$.
Докажем, что $d_{n+1} < d_n$:
$\frac{1}{3^{n+1}} < \frac{1}{3^n}$
Так как $n$ — натуральное число, то $3^n > 0$ и $3^{n+1} > 0$. Умножим обе части на $3^{n+1}$:
$\frac{3^{n+1}}{3^{n+1}} < \frac{3^{n+1}}{3^n}$
$1 < 3^{n+1-n}$
$1 < 3^1$
$1 < 3$
Полученное неравенство верно. Следовательно, неравенство $d_{n+1} < d_n$ верно для любого натурального $n$, и последовательность $d_n$ убывает.
Ответ: Последовательность $d_n$ убывает, так как было доказано, что $d_{n+1} < d_n$ для всех натуральных $n$.