Страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.22 a) Между числами 15 и 23 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.

б) Между числами 16 и 28 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.

а) Обозначим искомое число через $x$. Тогда числа $15$, $x$ и $23$ должны образовывать арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.
Следовательно, для $x$ должно выполняться равенство:
$x = \frac{15 + 23}{2}$
Выполним вычисление:
$x = \frac{38}{2} = 19$
Таким образом, искомое число равно 19. Получившаяся последовательность: 15, 19, 23. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 19 - 15 = 4$.
Ответ: 19

б) Обозначим искомое число через $y$. Тогда числа $16$, $y$ и $28$ должны являться последовательными членами арифметической прогрессии. Применим то же свойство, что и в предыдущем пункте.
Число $y$ должно быть средним арифметическим чисел $16$ и $28$:
$y = \frac{16 + 28}{2}$
Выполним вычисление:
$y = \frac{44}{2} = 22$
Таким образом, искомое число равно 22. Получившаяся последовательность: 16, 22, 28. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 22 - 16 = 6$.
Ответ: 22

16.23 Дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$. Найдите $a_n$, если:

а) $a_1 = 1, d = 2, n = 11;$

б) $a_1 = -1\frac{1}{2}, d = -3,75, n = 21;$

в) $a_1 = \frac{2}{3}, d = \frac{3}{4}, n = 17;$

г) $a_1 = 0,2, d = \frac{1}{3}, n = 13.$

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $a_n$ используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а)

Даны значения: $a_1 = 1$, $d = 2$, $n = 11$.

Подставляем эти значения в формулу, чтобы найти $a_{11}$:

$a_{11} = a_1 + (11 - 1)d = 1 + 10 \cdot 2 = 1 + 20 = 21$.

Ответ: 21.

б)

Даны значения: $a_1 = -1\frac{1}{2}$, $d = -3,75$, $n = 21$.

Для удобства вычислений представим смешанное число в виде десятичной дроби: $a_1 = -1\frac{1}{2} = -1.5$.

Подставляем значения в формулу, чтобы найти $a_{21}$:

$a_{21} = a_1 + (21 - 1)d = -1.5 + 20 \cdot (-3.75) = -1.5 - 75 = -76.5$.

Ответ: -76,5.

в)

Даны значения: $a_1 = \frac{2}{3}$, $d = \frac{3}{4}$, $n = 17$.

Подставляем значения в формулу, чтобы найти $a_{17}$:

$a_{17} = a_1 + (17 - 1)d = \frac{2}{3} + 16 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{3} + \frac{16 \cdot 3}{4} = \frac{2}{3} + 4 \cdot 3 = \frac{2}{3} + 12$.

Чтобы сложить дробь и целое число, приведем их к общему знаменателю:

$a_{17} = \frac{2}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} = \frac{2}{3} + \frac{36}{3} = \frac{38}{3}$.

Ответ: $\frac{38}{3}$.

г)

Даны значения: $a_1 = 0,2$, $d = \frac{1}{3}$, $n = 13$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a_1 = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Подставляем значения в формулу, чтобы найти $a_{13}$:

$a_{13} = a_1 + (13 - 1)d = \frac{1}{5} + 12 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{12}{3} = \frac{1}{5} + 4$.

Приведем к общему знаменателю:

$a_{13} = \frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} = \frac{1}{5} + \frac{20}{5} = \frac{21}{5}$.

Ответ: $\frac{21}{5}$.

16.24 Дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$. Найдите $a_1$, если:

а) $d = 2, n = 15, a_n = -10;$

б) $d = -\frac{1}{4}, n = 7, a_n = 10\frac{1}{2};$

в) $d = -0,6, n = 17, a_n = 9,5;$

г) $d = -0,3, n = 15, a_n = -2,94.$

а) Воспользуемся формулой для нахождения первого члена арифметической прогрессии: $a_1 = a_n - (n-1)d$.
Подставим в нее заданные значения: $d=2$, $n=15$ и $a_n = -10$.
$a_1 = -10 - (15-1) \cdot 2$
$a_1 = -10 - 14 \cdot 2$
$a_1 = -10 - 28$
$a_1 = -38$
Ответ: -38.

б) Воспользуемся формулой для нахождения первого члена арифметической прогрессии: $a_1 = a_n - (n-1)d$.
Подставим в нее заданные значения: $d = \frac{1}{4}$, $n=7$ и $a_n = 10\frac{1}{2}$.
$a_1 = 10\frac{1}{2} - (7-1) \cdot \frac{1}{4}$
$a_1 = 10\frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{4}$
$a_1 = \frac{21}{2} - \frac{6}{4}$
$a_1 = \frac{21}{2} - \frac{3}{2}$
$a_1 = \frac{18}{2} = 9$
Ответ: 9.

в) Воспользуемся формулой для нахождения первого члена арифметической прогрессии: $a_1 = a_n - (n-1)d$.
Подставим в нее заданные значения: $d = -0{,}6$, $n=17$ и $a_n = 9{,}5$.
$a_1 = 9{,}5 - (17-1) \cdot (-0{,}6)$
$a_1 = 9{,}5 - 16 \cdot (-0{,}6)$
$a_1 = 9{,}5 - (-9{,}6)$
$a_1 = 9{,}5 + 9{,}6$
$a_1 = 19{,}1$
Ответ: 19,1.

г) Воспользуемся формулой для нахождения первого члена арифметической прогрессии: $a_1 = a_n - (n-1)d$.
Подставим в нее заданные значения: $d = -0{,}3$, $n=15$ и $a_n = -2{,}94$.
$a_1 = -2{,}94 - (15-1) \cdot (-0{,}3)$
$a_1 = -2{,}94 - 14 \cdot (-0{,}3)$
$a_1 = -2{,}94 - (-4{,}2)$
$a_1 = -2{,}94 + 4{,}2$
$a_1 = 1{,}26$
Ответ: 1,26.

16.25 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $d$, если:

а) $a_1 = 3, a_n = 39, n = 11;$

б) $a_1 = -0,2, a_n = -18,4, n = 15;$

в) $a_1 = 5 \frac{5}{8}, a_n = 1 \frac{1}{4}, n = 36;$

г) $a_1 = 3,6, a_n = 0, n = 37.$

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим из нее $d$:

$d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано: $a_1 = 3$, $a_n = 39$, $n = 11$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{39 - 3}{11 - 1} = \frac{36}{10} = 3.6$

Ответ: $3.6$

б) Дано: $a_1 = -0.2$, $a_n = -18.4$, $n = 15$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{-18.4 - (-0.2)}{15 - 1} = \frac{-18.4 + 0.2}{14} = \frac{-18.2}{14} = -1.3$

Ответ: $-1.3$

в) Дано: $a_1 = 5\frac{5}{8}$, $a_n = 1\frac{1}{4}$, $n = 36$.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные. Для удобства вычислений приведем их к общему знаменателю.

$a_1 = 5\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{45}{8}$

$a_n = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = \frac{10}{8}$

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{\frac{10}{8} - \frac{45}{8}}{36 - 1} = \frac{-\frac{35}{8}}{35} = -\frac{35}{8 \cdot 35} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

г) Дано: $a_1 = 3.6$, $a_n = 0$, $n = 37$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{0 - 3.6}{37 - 1} = \frac{-3.6}{36} = -0.1$

Ответ: $-0.1$

16.26 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $n$, если:

а) $a_1 = 1, d = \frac{2}{3}, a_n = 67;$

б) $a_1 = 0, d = 0.5, a_n = 5;$

в) $a_1 = -6, d = \frac{3}{4}, a_n = 10\frac{1}{2};$

г) $a_1 = -4.5, d = 5.5, a_n = 100.$

Для нахождения номера члена $n$ в конечной арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти $n$, выразим его из этой формулы:

$a_n - a_1 = (n-1)d$

$n - 1 = \frac{a_n - a_1}{d}$

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Применим полученную формулу для каждого из заданных случаев.

а) Для $a_1 = 1$, $d = \frac{2}{3}$ и $a_n = 67$ подставляем значения в формулу:

$n = \frac{67 - 1}{\frac{2}{3}} + 1 = \frac{66}{\frac{2}{3}} + 1 = 66 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 33 \cdot 3 + 1 = 99 + 1 = 100$.

Ответ: 100.

б) Для $a_1 = 0$, $d = 0,5$ и $a_n = 5$ подставляем значения в формулу:

$n = \frac{5 - 0}{0,5} + 1 = \frac{5}{0,5} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: 11.

в) Для $a_1 = -6$, $d = \frac{3}{4}$ и $a_n = 10\frac{1}{2}$ подставляем значения в формулу.

Сначала переведем смешанное число $10\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.

$n = \frac{\frac{21}{2} - (-6)}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{\frac{21}{2} + 6}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{\frac{21+12}{2}}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{\frac{33}{2}}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{33}{2} \cdot \frac{4}{3} + 1 = 11 \cdot 2 + 1 = 22 + 1 = 23$.

Ответ: 23.

г) Для $a_1 = -4,5$, $d = 5,5$ и $a_n = 100$ подставляем значения в формулу:

$n = \frac{100 - (-4,5)}{5,5} + 1 = \frac{100 + 4,5}{5,5} + 1 = \frac{104,5}{5,5} + 1 = 19 + 1 = 20$.

Ответ: 20.

16.27 Является ли число $b$ членом заданной арифметической прогрессии $(a_n)$? Если да, то укажите номер этого члена.

а) $a_1 = 5, d = 0,3, b = 21,2;$

б) $a_1 = 3, d = -0,35, b = 0,65;$

в) $a_1 = -7, d = 5,1, b = 44;$

г) $a_1 = -0,13, d = 0,02, b = -0,01.$

Чтобы определить, является ли число $b$ членом арифметической прогрессии $(a_n)$, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $a_n = b$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

а)

Дано: $a_1 = 5$, $d = 0,3$, $b = 21,2$.
Подставим эти значения в формулу, приняв $a_n = b$:
$21,2 = 5 + (n-1) \cdot 0,3$
Выразим $n-1$:
$(n-1) \cdot 0,3 = 21,2 - 5$
$(n-1) \cdot 0,3 = 16,2$
$n-1 = \frac{16,2}{0,3}$
$n-1 = 54$
Теперь найдем $n$:
$n = 54 + 1$
$n = 55$
Поскольку $n = 55$ является натуральным числом, число $b=21,2$ является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена — 55.

б)

Дано: $a_1 = 3$, $d = -0,35$, $b = 0,65$.
Подставим значения в формулу:
$0,65 = 3 + (n-1) \cdot (-0,35)$
$(n-1) \cdot (-0,35) = 0,65 - 3$
$(n-1) \cdot (-0,35) = -2,35$
$n-1 = \frac{-2,35}{-0,35}$
$n-1 = \frac{235}{35} = \frac{47}{7}$
Так как $n-1 = \frac{47}{7}$ не является целым числом, то и $n = \frac{47}{7} + 1 = \frac{54}{7}$ не является натуральным числом. Следовательно, число $b=0,65$ не является членом данной прогрессии.
Ответ: Нет, не является.

в)

Дано: $a_1 = -7$, $d = 5,1$, $b = 44$.
Подставим значения в формулу:
$44 = -7 + (n-1) \cdot 5,1$
$(n-1) \cdot 5,1 = 44 - (-7)$
$(n-1) \cdot 5,1 = 51$
$n-1 = \frac{51}{5,1}$
$n-1 = 10$
$n = 10 + 1$
$n = 11$
Поскольку $n = 11$ является натуральным числом, число $b=44$ является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена — 11.

г)

Дано: $a_1 = -0,13$, $d = 0,02$, $b = -0,01$.
Подставим значения в формулу:
$-0,01 = -0,13 + (n-1) \cdot 0,02$
$(n-1) \cdot 0,02 = -0,01 - (-0,13)$
$(n-1) \cdot 0,02 = 0,12$
$n-1 = \frac{0,12}{0,02}$
$n-1 = 6$
$n = 6 + 1$
$n = 7$
Поскольку $n = 7$ является натуральным числом, число $b=-0,01$ является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена — 7.