Страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.69 Докажите, что если числа $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство:

a) $ab + bc + ac = 3ac$;

б) $\frac{b}{c} + \frac{b}{a} = 2$.

Поскольку по условию задачи числа $ \frac{1}{a} $, $ \frac{1}{b} $ и $ \frac{1}{c} $ в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, для них справедливо характеристическое свойство арифметической прогрессии: средний член равен среднему арифметическому соседних членов.

Запишем это свойство в виде формулы:

$ \frac{1}{b} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}{2} $

Умножим обе части этого равенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

$ \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} $

Это ключевое соотношение, которое следует из условия задачи. Мы будем использовать его для доказательства обоих пунктов.

а) Требуется доказать равенство $ ab + bc + ac = 3ac $.

Возьмем ключевое соотношение $ \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} $ и приведем дроби в правой части к общему знаменателю $ ac $:

$ \frac{2}{b} = \frac{c+a}{ac} $

Теперь, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$ 2ac = b(a+c) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 2ac = ab + bc $

Мы получили выражение для суммы $ ab + bc $. Теперь подставим его в левую часть равенства, которое нам нужно доказать ($ ab + bc + ac $):

$ (ab + bc) + ac = (2ac) + ac = 3ac $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства $ ab + bc + ac $ действительно равна $ 3ac $. Равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Требуется доказать равенство $ \frac{b}{c} + \frac{b}{a} = 2 $.

Рассмотрим левую часть этого равенства: $ \frac{b}{c} + \frac{b}{a} $. Вынесем общий множитель $ b $ за скобки:

$ \frac{b}{c} + \frac{b}{a} = b \left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right) $

Из ключевого соотношения, полученного из свойства арифметической прогрессии, мы знаем, что $ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b} $. Выполним подстановку этого выражения в преобразованную левую часть:

$ b \left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right) = b \cdot \left(\frac{2}{b}\right) $

Сократим $ b $ в числителе и знаменателе:

$ b \cdot \frac{2}{b} = 2 $

Таким образом, левая часть доказываемого равенства равна 2, что в точности соответствует его правой части. Равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

16.70 Докажите, что если числа $\frac{1}{a+b}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{c+b}$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также образуют конечную арифметическую прогрессию.

Поскольку по условию задачи числа $ \frac{1}{a+b} $, $ \frac{1}{a+c} $, $ \frac{1}{c+b} $ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для трех членов это означает, что второй член равен полусумме первого и третьего:

$ \frac{1}{a+c} = \frac{\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+b}}{2} $

Умножим обе части равенства на 2:

$ \frac{2}{a+c} = \frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+b} $

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю:

$ \frac{2}{a+c} = \frac{(c+b) + (a+b)}{(a+b)(c+b)} $

$ \frac{2}{a+c} = \frac{a+2b+c}{ac+ab+bc+b^2} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$ 2(ac+ab+bc+b^2) = (a+c)(a+2b+c) $

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$ 2ac + 2ab + 2bc + 2b^2 = a^2 + 2ab + ac + ac + 2bc + c^2 $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 2ac + 2ab + 2bc + 2b^2 = a^2 + 2ac + c^2 + 2ab + 2bc $

Вычтем из обеих частей равенства выражение $ 2ac + 2ab + 2bc $:

$ 2b^2 = a^2 + c^2 $

Теперь рассмотрим последовательность чисел $ a^2, b^2, c^2 $. Для того чтобы эти числа образовывали арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось аналогичное характеристическое свойство, то есть чтобы средний член $ b^2 $ был равен среднему арифметическому крайних членов $ a^2 $ и $ c^2 $:

$ b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2} $

Умножив это равенство на 2, мы получим:

$ 2b^2 = a^2 + c^2 $

Мы видим, что условие, при котором числа $ a^2, b^2, c^2 $ образуют арифметическую прогрессию, в точности совпадает с равенством, которое мы вывели из условия для первой последовательности. Следовательно, если числа $ \frac{1}{a+b} $, $ \frac{1}{a+c} $, $ \frac{1}{c+b} $ образуют арифметическую прогрессию, то и числа $ a^2, b^2, c^2 $ также образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано.

17.1 Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:¹

а) $b_1 = -1, q = 3$;

б) $b_1 = -2, q = -\frac{1}{2}$;

в) $b_1 = -1, q = -3$;

г) $b_1 = 20, q = \sqrt{5}$.

Для нахождения каждого последующего члена геометрической прогрессии $(b_n)$ необходимо предыдущий член умножить на знаменатель прогрессии $q$. Формула для нахождения следующего члена: $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Вычислим первые шесть членов для каждого из заданных случаев.

а) Даны первый член $b_1 = -1$ и знаменатель $q = 3$.
$b_1 = -1$
$b_2 = b_1 \cdot q = -1 \cdot 3 = -3$
$b_3 = b_2 \cdot q = -3 \cdot 3 = -9$
$b_4 = b_3 \cdot q = -9 \cdot 3 = -27$
$b_5 = b_4 \cdot q = -27 \cdot 3 = -81$
$b_6 = b_5 \cdot q = -81 \cdot 3 = -243$
Ответ: -1, -3, -9, -27, -81, -243.

б) Даны первый член $b_1 = -2$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.
$b_1 = -2$
$b_2 = b_1 \cdot q = -2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$
$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$
$b_4 = b_3 \cdot q = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
$b_5 = b_4 \cdot q = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$
$b_6 = b_5 \cdot q = (-\frac{1}{8}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{16}$
Ответ: -2, 1, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$.

в) Даны первый член $b_1 = -1$ и знаменатель $q = -3$.
$b_1 = -1$
$b_2 = b_1 \cdot q = -1 \cdot (-3) = 3$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot (-3) = -9$
$b_4 = b_3 \cdot q = -9 \cdot (-3) = 27$
$b_5 = b_4 \cdot q = 27 \cdot (-3) = -81$
$b_6 = b_5 \cdot q = -81 \cdot (-3) = 243$
Ответ: -1, 3, -9, 27, -81, 243.

г) Даны первый член $b_1 = 20$ и знаменатель $q = \sqrt{5}$.
$b_1 = 20$
$b_2 = b_1 \cdot q = 20 \cdot \sqrt{5} = 20\sqrt{5}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 20\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 20 \cdot 5 = 100$
$b_4 = b_3 \cdot q = 100 \cdot \sqrt{5} = 100\sqrt{5}$
$b_5 = b_4 \cdot q = 100\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 100 \cdot 5 = 500$
$b_6 = b_5 \cdot q = 500 \cdot \sqrt{5} = 500\sqrt{5}$
Ответ: 20, $20\sqrt{5}$, 100, $100\sqrt{5}$, 500, $500\sqrt{5}$.

17.2 Дана возрастающая последовательность всех степеней числа 3 с натуральными показателями. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен её знаменатель?

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Заданная возрастающая последовательность состоит из всех степеней числа 3 с натуральными показателями. Обозначим члены этой последовательности через $b_n$. Поскольку показатели степеней являются натуральными числами, то $n$ принимает значения $1, 2, 3, \dots$.
Общий член последовательности имеет вид: $b_n = 3^n$.
Таким образом, последовательность представляет собой ряд чисел: $b_1 = 3^1=3$, $b_2 = 3^2=9$, $b_3 = 3^3=27$, и так далее.

По определению, числовая последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно. Это постоянное число называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой $q$.
Чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, найдем отношение $(n+1)$-го члена $b_{n+1}$ к $n$-му члену $b_n$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{(n+1)-n} = 3^1 = 3$.

Поскольку отношение $q$ является постоянной величиной (константой), равной 3, для любых двух соседних членов, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Чему равен её знаменатель?

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это то самое постоянное отношение, которое было вычислено при ответе на первый вопрос.
Как мы установили, $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = 3$.
Это значение не зависит от выбора конкретной пары соседних членов, например:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{3^2}{3^1} = \frac{9}{3} = 3$;
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{3^3}{3^2} = \frac{27}{9} = 3$.
Следовательно, знаменатель данной геометрической прогрессии равен 3.

Ответ: знаменатель этой прогрессии равен 3.

17.3 Дана убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен её знаменатель?

Какие из приведённых ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?

Убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10 состоит из членов, где показатели степени — это целые отрицательные числа: -1, -2, -3, и так далее.

Запишем первые несколько членов этой последовательности, обозначив их $b_n$. Чтобы последовательность была убывающей, степени должны идти в порядке -1, -2, -3, ...: $b_1 = 10^{-1} = 0,1$; $b_2 = 10^{-2} = 0,01$; $b_3 = 10^{-3} = 0,001$. Общий член последовательности можно записать формулой $b_n = 10^{-n}$.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической прогрессией, необходимо найти отношение любого её члена к предыдущему и убедиться, что оно постоянно.

Найдем отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10^{-2}}{10^{-1}} = 10^{-2 - (-1)} = 10^{-1} = 0,1$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{10^{-3}}{10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = 0,1$.

Видно, что отношение постоянно. В общем виде для $(n+1)$-го и $n$-го членов: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{10^{-(n+1)}}{10^{-n}} = 10^{-n-1 - (-n)} = 10^{-n-1+n} = 10^{-1} = 0,1$.

Так как отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему постоянно и равно 0,1, то данная последовательность является геометрической прогрессией. Её знаменатель $q = 0,1$.

Ответ: Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Её знаменатель равен 0,1.

17.4 a) 3, 9, 27, 81, 243, ...;

б) 3, 6, 9, 12, 15, ...;

в) $4, -1, \frac{1}{4}, -\frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \ldots$;

г) $\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{9}, \ldots$

¹ Здесь и далее в этом параграфе через $q$ обозначен знаменатель геометрической прогрессии.

а) 3, 9, 27, 81, 243, ...

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, необходимо проверить, постоянно ли отношение между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом. Это отношение называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{9}{3} = 3$.

Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{27}{9} = 3$.

Найдем отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{81}{27} = 3$.

Найдем отношение пятого члена к четвертому:
$q = \frac{243}{81} = 3$.

Так как отношение постоянно и равно 3, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 3$.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 3$.

б) 3, 6, 9, 12, 15, ...

Проверим, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдя отношение последующих членов к предыдущим.

Отношение второго члена к первому:
$\frac{6}{3} = 2$.

Отношение третьего члена ко второму:
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Поскольку $2 \neq 1.5$, отношение не является постоянной величиной, следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого найдем разность $d$ между последующим и предыдущим членами.

$d = 6 - 3 = 3$.
$d = 9 - 6 = 3$.
$d = 12 - 9 = 3$.
$d = 15 - 12 = 3$.

Разность постоянна и равна 3, значит, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 3$.

Ответ: данная последовательность не является геометрической, это арифметическая прогрессия с разностью $d=3$.

в) 4, –1, $\frac{1}{4}$, –$\frac{1}{16}$, $\frac{1}{64}$, ...

Найдем знаменатель прогрессии $q$, чтобы проверить, является ли она геометрической.

Отношение второго члена к первому:
$q = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$.

Отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{1/4}{-1} = -\frac{1}{4}$.

Отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{-1/16}{1/4} = -\frac{1}{16} \cdot \frac{4}{1} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$.

Отношение пятого члена к четвертому:
$q = \frac{1/64}{-1/16} = \frac{1}{64} \cdot (-\frac{16}{1}) = -\frac{16}{64} = -\frac{1}{4}$.

Отношение постоянно и равно $-\frac{1}{4}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 4$ и знаменателем $q = -\frac{1}{4}$.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -\frac{1}{4}$.

г) $\sqrt{3}$, $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\frac{4\sqrt{3}}{9}$, ...

Найдем знаменатель прогрессии $q$, чтобы проверить, является ли она геометрической.

Отношение второго члена к первому:
$q = \frac{2\sqrt{3}/3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$.

Отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{4\sqrt{3}/9}{2\sqrt{3}/3} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Отношение постоянно и равно $\frac{2}{3}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \sqrt{3}$ и знаменателем $q = \frac{2}{3}$.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{2}{3}$.