Страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.22 Найдите первый член и знаменатель $q$ геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_7 = 192$, $b_5 = 48$ $(q > 0)$;

б) $b_2 = 24$, $b_5 = 81$;

в) $b_3 = 3\frac{1}{4}$, $b_6 = -\frac{13}{32}$;

г) $b_3 = 12$, $b_5 = 48$ $(q < 0)$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии. Также удобна в использовании производная формула $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

а) Дано: $b_7 = 192$, $b_5 = 48$ и $q > 0$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ для $n=7$ и $m=5$:

$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5}$

$192 = 48 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{192}{48} = 4$

Поскольку по условию $q > 0$, извлекаем положительный квадратный корень:

$q = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$48 = b_1 \cdot 2^4$

$48 = b_1 \cdot 16$

$b_1 = \frac{48}{16} = 3$

Ответ: $b_1 = 3$, $q = 2$.

б) Дано: $b_2 = 24$, $b_5 = 81$.

Найдем знаменатель $q$, используя $b_5$ и $b_2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2}$

$81 = 24 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{81}{24} = \frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{27}{8}$

Извлекаем кубический корень:

$q = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы для $b_2$:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$

$24 = b_1 \cdot \frac{3}{2}$

$b_1 = 24 \div \frac{3}{2} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$

Ответ: $b_1 = 16$, $q = \frac{3}{2}$.

в) Дано: $b_3 = 3\frac{1}{4}$, $b_6 = -\frac{13}{32}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $b_3 = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$.

Найдем знаменатель $q$, используя $b_6$ и $b_3$:

$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}$

$-\frac{13}{32} = \frac{13}{4} \cdot q^3$

$q^3 = \left(-\frac{13}{32}\right) \div \left(\frac{13}{4}\right) = -\frac{13}{32} \cdot \frac{4}{13} = -\frac{4}{32} = -\frac{1}{8}$

Извлекаем кубический корень:

$q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы для $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$\frac{13}{4} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2$

$\frac{13}{4} = b_1 \cdot \frac{1}{4}$

$b_1 = 13$

Ответ: $b_1 = 13$, $q = -\frac{1}{2}$.

г) Дано: $b_3 = 12$, $b_5 = 48$ и $q < 0$.

Найдем знаменатель $q$, используя $b_5$ и $b_3$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3}$

$48 = 12 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{48}{12} = 4$

Уравнение $q^2=4$ имеет два корня: $q=2$ и $q=-2$. По условию $q < 0$, следовательно, выбираем $q=-2$.

$q = -2$

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы для $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$12 = b_1 \cdot (-2)^2$

$12 = b_1 \cdot 4$

$b_1 = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $b_1 = 3$, $q = -2$.

17.23 Между числами 1 и $ \frac{1}{8} $ вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.

Пусть искомые числа — это второй ($b_2$) и третий ($b_3$) члены геометрической прогрессии. Тогда первый член прогрессии $b_1 = 1$, а четвертый член $b_4 = \frac{1}{8}$. Всего в последовательности четыре члена.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для четвертого члена: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Теперь подставим известные значения $b_1 = 1$ и $b_4 = \frac{1}{8}$ и решим уравнение относительно $q$: $\frac{1}{8} = 1 \cdot q^3$ $q^3 = \frac{1}{8}$ $q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ $q = \frac{1}{2}$

По условию, вставленные числа должны быть положительными. Так как первый член $b_1 = 1$ (положительный) и знаменатель $q = \frac{1}{2}$ (положительный), все члены прогрессии будут положительными.

Теперь найдем искомые числа — второй и третий члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Таким образом, мы вставили числа $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ между 1 и $\frac{1}{8}$, получив геометрическую прогрессию: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$.

17.24 В правильный треугольник со стороной 32 см последовательно вписываются треугольники; вершины каждого последующего треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.

Пусть $T_1$ — исходный правильный треугольник. Его сторона по условию $a_1 = 32$ см. Периметр этого треугольника $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 32 = 96$ см.

Второй треугольник $T_2$ вписывается в $T_1$ так, что его вершины являются серединами сторон $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией треугольника $T_1$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Поскольку $T_1$ — правильный треугольник, все его стороны равны $a_1$. Следовательно, все стороны $T_2$ также равны между собой и их длина $a_2 = \frac{a_1}{2}$. Это означает, что $T_2$ также является правильным треугольником.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot \frac{a_1}{2} = \frac{3a_1}{2} = \frac{P_1}{2}$.

Рассмотрим общий случай. Пусть $T_n$ — это n-й треугольник в последовательности, который является правильным со стороной $a_n$ и периметром $P_n = 3a_n$. Следующий треугольник $T_{n+1}$ образован соединением середин сторон треугольника $T_n$. Его стороны являются средними линиями $T_n$, поэтому $T_{n+1}$ — также правильный треугольник со стороной $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$.

Периметр треугольника $T_{n+1}$ равен $P_{n+1} = 3 \cdot a_{n+1} = 3 \cdot \frac{a_n}{2} = \frac{3a_n}{2} = \frac{P_n}{2}$.

Мы получили, что для любого $n \geq 1$ выполняется соотношение $P_{n+1} = P_n \cdot \frac{1}{2}$. Это означает, что каждый следующий член последовательности периметров получается из предыдущего умножением на постоянное число $q = \frac{1}{2}$.

По определению, такая последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Последовательность периметров треугольников является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $\frac{1}{2}$.

Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии.

Для того чтобы записать формулу n-го члена геометрической прогрессии, необходимо знать ее первый член $P_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии — это периметр исходного треугольника: $P_1 = 96$ см.

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, равен $q = \frac{1}{2}$.

Общая формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Применительно к нашей задаче, формула для n-го периметра $P_n$ будет выглядеть так: $P_n = P_1 \cdot q^{n-1} = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Ответ: $P_n = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

17.25 Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии $(b_n)$, заданной следующими условиями:

a) $b_1 = 1, q = 2;$

б) $b_1 = 3, q = 4;$

в) $b_1 = 1, q = -\frac{1}{3};$

г) $b_1 = 4, q = -\frac{1}{2}.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество суммируемых членов. В данной задаче для всех пунктов необходимо найти сумму первых четырёх членов, то есть $n=4$.

а) Дано: первый член прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 2$.
Подставим эти значения в формулу для суммы первых четырёх членов:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{1(2^4 - 1)}{2 - 1} = \frac{1(16 - 1)}{1} = \frac{15}{1} = 15$.
Ответ: 15

б) Дано: $b_1 = 3, q = 4$.
Вычисляем сумму $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{3(4^4 - 1)}{4 - 1} = \frac{3(256 - 1)}{3} = 255$.
Ответ: 255

в) Дано: $b_1 = 1, q = -\frac{1}{3}$.
Вычисляем сумму $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{1((-\frac{1}{3})^4 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{81} - 1}{-\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{-\frac{80}{81}}{-\frac{4}{3}} = \frac{80}{81} \cdot \frac{3}{4} = \frac{20 \cdot 1}{27 \cdot 1} = \frac{20}{27}$.
Ответ: $\frac{20}{27}$

г) Дано: $b_1 = 4, q = -\frac{1}{2}$.
Вычисляем сумму $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{4((-\frac{1}{2})^4 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{4(\frac{1}{16} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{4(-\frac{15}{16})}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{15}{4}}{-\frac{3}{2}} = \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5

17.26 Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии ($b_n$), у которой:

а) $b_1 = 18, q = -\frac{1}{3};$

б) $b_1 = 15, q = -\frac{2}{3};$

в) $b_1 = -12, q = -\frac{1}{2};$

г) $b_1 = -9, q = \sqrt{3}.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – количество членов. Если знаменатель $q$ по модулю меньше единицы ($|q| < 1$), удобнее использовать эквивалентную формулу:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Во всех случаях требуется найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$.

а) Дано: $b_1 = 18$, $q = \frac{1}{3}$.

Поскольку $|q| = \frac{1}{3} < 1$, используем вторую формулу.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{18(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}}$

Сначала вычислим $q^6$:

$q^6 = (\frac{1}{3})^6 = \frac{1^6}{3^6} = \frac{1}{729}$

Теперь вычислим сумму:

$S_6 = \frac{18(1 - \frac{1}{729})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18(\frac{729 - 1}{729})}{\frac{3 - 1}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}$

Для упрощения дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$S_6 = 18 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} \cdot \frac{728}{729} = 27 \cdot \frac{728}{729} = \frac{728}{27}$

В виде смешанной дроби это $26 \frac{26}{27}$.

Ответ: $S_6 = \frac{728}{27}$.

б) Дано: $b_1 = 15$, $q = \frac{2}{3}$.

Поскольку $|q| = \frac{2}{3} < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Подставляем значения:

$S_6 = \frac{15(1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}}$

Вычислим $q^6$:

$q^6 = (\frac{2}{3})^6 = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}$

Теперь вычисляем сумму:

$S_6 = \frac{15(1 - \frac{64}{729})}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{15(\frac{729 - 64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{15 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{1}{3}}$

$S_6 = 15 \cdot \frac{665}{729} \cdot 3 = 45 \cdot \frac{665}{729} = \frac{45 \cdot 665}{729}$

Сократим дробь на 9 ($45 = 5 \cdot 9$, $729 = 81 \cdot 9$):

$S_6 = \frac{5 \cdot 665}{81} = \frac{3325}{81}$

В виде смешанной дроби это $41 \frac{4}{81}$.

Ответ: $S_6 = \frac{3325}{81}$.

в) Дано: $b_1 = -12$, $q = -\frac{1}{2}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Подставляем значения:

$S_6 = \frac{-12(1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Вычислим $q^6$. Так как степень четная, минус исчезает:

$q^6 = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$

Вычисляем сумму:

$S_6 = \frac{-12(1 - \frac{1}{64})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-12(\frac{63}{64})}{\frac{3}{2}}$

$S_6 = -12 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{12 \cdot 2}{3} \cdot \frac{63}{64} = -8 \cdot \frac{63}{64} = -\frac{63}{8}$

В виде смешанной дроби это $-7 \frac{7}{8}$.

Ответ: $S_6 = -\frac{63}{8}$.

г) Дано: $b_1 = -9$, $q = \sqrt{3}$.

Поскольку $|q| = \sqrt{3} > 1$, используем основную формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставляем значения:

$S_6 = \frac{-9((\sqrt{3})^6 - 1)}{\sqrt{3} - 1}$

Вычислим $q^6$:

$q^6 = (\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27$

Теперь вычисляем сумму:

$S_6 = \frac{-9(27 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9 \cdot 26}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-234}{\sqrt{3} - 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$S_6 = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$S_6 = -117(\sqrt{3} + 1)$

Ответ: $S_6 = -117(\sqrt{3} + 1)$.

17.27 Для геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $S_n$, если:

а) $b_1 = 5, q = 2, n = 6;$

б) $b_1 = -1, q = -1.5, n = 8;$

в) $b_1 = -4, q = \frac{1}{2}, n = 13;$

г) $b_1 = 4.5, q = \frac{1}{3}, n = 8.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$), где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

а)

Дано: $b_1 = 5$, $q = 2$, $n = 6$.

Подставим известные значения в формулу суммы геометрической прогрессии:

$S_6 = \frac{5(2^6 - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычислим $2^6$:

$2^6 = 64$

Теперь подставим это значение обратно в формулу и вычислим сумму:

$S_6 = \frac{5(64 - 1)}{1} = 5 \cdot 63 = 315$

Ответ: $315$.

б)

Дано: $b_1 = -1$, $q = -1,5$, $n = 8$.

Подставим значения в формулу. Для удобства представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $q = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

$S_8 = \frac{-1\left(\left(-\frac{3}{2}\right)^8 - 1\right)}{-\frac{3}{2} - 1}$

Вычислим $\left(-\frac{3}{2}\right)^8$. Так как степень четная, результат будет положительным:

$\left(-\frac{3}{2}\right)^8 = \frac{3^8}{2^8} = \frac{6561}{256}$

Теперь вычислим сумму:

$S_8 = \frac{-1\left(\frac{6561}{256} - 1\right)}{-\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{-1\left(\frac{6561 - 256}{256}\right)}{-\frac{5}{2}} = \frac{-\frac{6305}{256}}{-\frac{5}{2}}$

При делении дробей "переворачиваем" вторую дробь и умножаем:

$S_8 = \frac{6305}{256} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6305 \cdot 2}{256 \cdot 5}$

Сократим дробь: $6305$ делится на $5$ ($1261$), а $256$ делится на $2$ ($128$):

$S_8 = \frac{1261}{128}$

Ответ: $\frac{1261}{128}$.

в)

Дано: $b_1 = -4$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 13$.

Когда знаменатель $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

$S_{13} = \frac{-4\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{13}\right)}{1 - \frac{1}{2}}$

Вычислим $\left(\frac{1}{2}\right)^{13}$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{13} = \frac{1^{13}}{2^{13}} = \frac{1}{8192}$

Подставим значение и вычислим сумму:

$S_{13} = \frac{-4\left(1 - \frac{1}{8192}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-4\left(\frac{8192 - 1}{8192}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-4\left(\frac{8191}{8192}\right)}{\frac{1}{2}}$

$S_{13} = -4 \cdot \frac{8191}{8192} \cdot 2 = -8 \cdot \frac{8191}{8192}$

Сократим дробь на 8:

$S_{13} = -\frac{8191}{1024}$

Ответ: $-\frac{8191}{1024}$.

г)

Дано: $b_1 = 4,5$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 8$.

Представим $b_1$ в виде обыкновенной дроби: $b_1 = 4,5 = \frac{9}{2}$. Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_8 = \frac{\frac{9}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^8\right)}{1 - \frac{1}{3}}$

Вычислим $\left(\frac{1}{3}\right)^8$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1}{3^8} = \frac{1}{6561}$

Теперь вычислим сумму:

$S_8 = \frac{\frac{9}{2}\left(1 - \frac{1}{6561}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{9}{2}\left(\frac{6560}{6561}\right)}{\frac{2}{3}}$

$S_8 = \frac{9}{2} \cdot \frac{6560}{6561} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 6560 \cdot 3}{2 \cdot 6561 \cdot 2} = \frac{27 \cdot 6560}{4 \cdot 6561}$

Сократим дробь, зная, что $6561 = 3^8 = 243 \cdot 27$:

$S_8 = \frac{27 \cdot 6560}{4 \cdot (243 \cdot 27)} = \frac{6560}{4 \cdot 243}$

Сократим числитель и знаменатель на 4:

$S_8 = \frac{1640}{243}$

Ответ: $\frac{1640}{243}$.