Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9 Пятый член геометрической прогрессии больше четвёртого на 168, а сумма третьего и четвёртого членов прогрессии равна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель – как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условиям задачи, пятый член прогрессии больше четвёртого на 168, а сумма третьего и четвёртого членов равна -28. Это можно записать в виде системы уравнений:$$ \begin{cases} b_5 - b_4 = 168 \\ b_3 + b_4 = -28 \end{cases} $$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$, используя формулы $b_3 = b_1 q^2$, $b_4 = b_1 q^3$ и $b_5 = b_1 q^4$, и подставим их в систему:$$ \begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q^3 = 168 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 = -28 \end{cases} $$Вынесем общие множители за скобки:$$ \begin{cases} b_1 q^3(q - 1) = 168 \\ b_1 q^2(1 + q) = -28 \end{cases} $$

Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю, то $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$. Это позволяет нам разделить первое уравнение на второе, чтобы найти $q$:$$ \frac{b_1 q^3(q - 1)}{b_1 q^2(1 + q)} = \frac{168}{-28} $$После сокращения дроби в левой части и вычисления значения в правой, получаем:$$ \frac{q(q - 1)}{1 + q} = -6 $$

Решим полученное уравнение относительно $q$:
$q(q - 1) = -6(q + 1)$
$q^2 - q = -6q - 6$
$q^2 + 5q + 6 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно 6, а их сумма равна -5. Следовательно, корни уравнения: $q_1 = -2$ и $q_2 = -3$.

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующее значение первого члена $b_1$, используя второе уравнение системы $b_1 q^2(1 + q) = -28$.

Случай 1: $q = -2$
Подставим это значение в уравнение:
$b_1 (-2)^2(1 + (-2)) = -28$
$b_1 \cdot 4 \cdot (-1) = -28$
$-4b_1 = -28$
$b_1 = 7$

Случай 2: $q = -3$
Подставим это значение в уравнение:
$b_1 (-3)^2(1 + (-3)) = -28$
$b_1 \cdot 9 \cdot (-2) = -28$
$-18b_1 = -28$
$b_1 = \frac{-28}{-18} = \frac{14}{9}$

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии.

Ответ:
1) Первый член $b_1 = 7$ и знаменатель $q = -2$.
2) Первый член $b_1 = \frac{14}{9}$ и знаменатель $q = -3$.

10 Найдите трёхзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры сотен вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим искомое трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, $c$ – цифра единиц. Значение этого числа равно $100a + 10b + c$. Поскольку число трёхзначное, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Анализ условий и составление уравнений

Исходя из условий задачи, сформулируем три математических соотношения:

1. Цифры $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию.
Это означает, что отношение последующего члена к предыдущему постоянно. Для трёх членов это эквивалентно свойству $b^2 = a \cdot c$.

2. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Число в обратном порядке это $\overline{cba}$, его значение равно $100c + 10b + a$. Составляем уравнение: $(100a + 10b + c) - 792 = 100c + 10b + a$. Упрощаем его: $100a + c - 792 = 100c + a$ $99a - 99c = 792$ $a - c = \frac{792}{99}$ $a - c = 8$.

3. Если из цифры сотен вычесть 4, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.
Новые цифры: $(a-4), b, c$. По свойству арифметической прогрессии, средний член равен полусумме крайних членов: $b = \frac{(a-4) + c}{2}$ $2b = a + c - 4$.

Решение полученной системы уравнений

Мы имеем систему для определения цифр $a, b, c$:

(1) $b^2 = ac$

(2) $a - c = 8$

(3) $2b = a + c - 4$

Из уравнения (2) выразим $a$: $a = c + 8$. Поскольку $a$ – это цифра от 1 до 9, то $1 \le c+8 \le 9$, что даёт $-7 \le c \le 1$. Так как $c$ – это неотрицательная цифра, то возможные значения для $c$ – это 0 или 1. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $c=0$

Из $a = c + 8$ получаем $a = 8$. Подставляем $a=8$ и $c=0$ в уравнение (3): $2b = 8 + 0 - 4 \implies 2b = 4 \implies b = 2$. Получаем цифры 8, 2, 0. Проверим для них условие (1) (геометрическая прогрессия): $b^2 = 2^2 = 4$. $ac = 8 \cdot 0 = 0$. Так как $4 \ne 0$, эти цифры не образуют геометрическую прогрессию. Этот случай не подходит.

Случай 2: $c=1$

Из $a = c + 8$ получаем $a = 9$. Подставляем $a=9$ и $c=1$ в уравнение (3): $2b = 9 + 1 - 4 \implies 2b = 6 \implies b = 3$. Получаем цифры 9, 3, 1. Проверим для них условие (1): $b^2 = 3^2 = 9$. $ac = 9 \cdot 1 = 9$. Так как $9 = 9$, эти цифры образуют геометрическую прогрессию. Этот случай является решением.

Итоговая проверка

Единственный подходящий набор цифр — $a=9, b=3, c=1$. Искомое число — 931. Выполним полную проверку по всем условиям задачи:

1. Цифры 9, 3, 1. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1/3$. ($3/9 = 1/3$, $1/3 = 1/3$). Верно.

2. $931 - 792 = 139$. Число 139 — это число 931, записанное в обратном порядке. Верно.

3. Новые цифры: $(9-4), 3, 1$, то есть 5, 3, 1. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -2$. ($3-5=-2$, $1-3=-2$). Верно.

Все условия выполнены.

Ответ: 931

1 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{7}$:

a) по недостатку;

б) по избытку.

Для того чтобы найти десятичные приближения числа $ \sqrt{7} $, сначала определим его приблизительное значение. Мы знаем, что $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $, следовательно, $ 2 < \sqrt{7} < 3 $. Используя калькулятор или метод извлечения корня, находим, что $ \sqrt{7} \approx 2.645751... $

а) по недостатку;

Десятичное приближение по недостатку (или снизу) – это наибольшее десятичное число с заданным количеством знаков после запятой, которое не превышает исходное число. Для нахождения таких приближений мы просто отбрасываем (усекаем) все цифры после требуемого разряда.

1. Первое приближение (с точностью до целых): отбрасываем все цифры после запятой. Получаем 2.
   Проверка: $ 2 < \sqrt{7} $.
2. Второе приближение (с точностью до десятых): оставляем одну цифру после запятой. Получаем 2,6.
   Проверка: $ 2.6 < \sqrt{7} $, так как $ 2.6^2 = 6.76 < 7 $.
3. Третье приближение (с точностью до сотых): оставляем две цифры после запятой. Получаем 2,64.
   Проверка: $ 2.64 < \sqrt{7} $, так как $ 2.64^2 = 6.9696 < 7 $.
4. Четвертое приближение (с точностью до тысячных): оставляем три цифры после запятой. Получаем 2,645.
   Проверка: $ 2.645 < \sqrt{7} $, так как $ 2.645^2 = 6.996025 < 7 $.

Таким образом, первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{7} $ по недостатку:

Ответ: 2; 2,6; 2,64; 2,645.

б) по избытку;

Десятичное приближение по избытку (или сверху) – это наименьшее десятичное число с заданным количеством знаков после запятой, которое больше или равно исходному числу. Для его нахождения нужно взять приближение по недостатку и увеличить последнюю цифру на единицу.

1. Первое приближение (с точностью до целых): приближение по недостатку равно 2. Увеличиваем на 1. Получаем 3.
   Проверка: $ \sqrt{7} < 3 $, так как $ 7 < 3^2 = 9 $.
2. Второе приближение (с точностью до десятых): приближение по недостатку равно 2,6. Увеличиваем последнюю цифру (6) на 1. Получаем 2,7.
   Проверка: $ \sqrt{7} < 2.7 $, так как $ 7 < 2.7^2 = 7.29 $.
3. Третье приближение (с точностью до сотых): приближение по недостатку равно 2,64. Увеличиваем последнюю цифру (4) на 1. Получаем 2,65.
   Проверка: $ \sqrt{7} < 2.65 $, так как $ 7 < 2.65^2 = 7.0225 $.
4. Четвертое приближение (с точностью до тысячных): приближение по недостатку равно 2,645. Увеличиваем последнюю цифру (5) на 1. Получаем 2,646.
   Проверка: $ \sqrt{7} < 2.646 $, так как $ 7 < 2.646^2 \approx 7.001316 $.

Таким образом, первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{7} $ по избытку:

Ответ: 3; 2,7; 2,65; 2,646.

2 Постройте график последовательности $y_n = \frac{2 - n}{3}$.

Для построения графика последовательности, заданной формулой $y_n = \frac{2-n}{3}$, необходимо найти несколько первых членов этой последовательности. Аргументом $n$ в последовательности являются натуральные числа, то есть $n = 1, 2, 3, 4, \ldots$. Графиком последовательности является множество точек на координатной плоскости с координатами $(n, y_n)$.

Вычислим значения $y_n$ для нескольких первых значений $n$:
При $n=1$: $y_1 = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}$. Координаты точки: $(1; \frac{1}{3})$.
При $n=2$: $y_2 = \frac{2-2}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Координаты точки: $(2; 0)$.
При $n=3$: $y_3 = \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3}$. Координаты точки: $(3; -\frac{1}{3})$.
При $n=4$: $y_4 = \frac{2-4}{3} = -\frac{2}{3}$. Координаты точки: $(4; -\frac{2}{3})$.
При $n=5$: $y_5 = \frac{2-5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Координаты точки: $(5; -1)$.
При $n=6$: $y_6 = \frac{2-6}{3} = -\frac{4}{3}$. Координаты точки: $(6; -\frac{4}{3})$.

Теперь построим координатную плоскость, где по оси абсцисс (ось $n$) откладываются натуральные числа, а по оси ординат (ось $y_n$) — соответствующие значения членов последовательности. Отметим на плоскости вычисленные точки.

Важно отметить, что все точки графика последовательности лежат на прямой, которая задается уравнением $y = \frac{2-x}{3}$. Однако, в отличие от графика этой линейной функции, график последовательности состоит из отдельных, изолированных точек, поскольку ее аргумент $n$ может принимать только натуральные значения.

Ниже представлен график, на котором отмечены первые шесть членов последовательности.

Ответ: Графиком последовательности $y_n = \frac{2-n}{3}$ является множество изолированных точек с координатами $(n, \frac{2-n}{3})$, где $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Первые несколько точек графика: $(1; \frac{1}{3})$, $(2; 0)$, $(3; -\frac{1}{3})$, $(4; -\frac{2}{3})$, $(5; -1)$. Графическое представление показано выше.

3 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 7. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

Выясните, является ли она арифметической прогрессией

По условию, дана возрастающая последовательность, состоящая из всех натуральных чисел, кратных 7. Натуральные числа — это 1, 2, 3, ... . Следовательно, членами нашей последовательности будут числа, которые делятся на 7 без остатка.

Запишем первые несколько членов этой последовательности, обозначив ее $(a_n)$:

$a_1 = 7 \cdot 1 = 7$
$a_2 = 7 \cdot 2 = 14$
$a_3 = 7 \cdot 3 = 21$
$a_4 = 7 \cdot 4 = 28$
и так далее.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической, найдем разность между соседними членами.

$a_2 - a_1 = 14 - 7 = 7$
$a_3 - a_2 = 21 - 14 = 7$
$a_4 - a_3 = 28 - 21 = 7$

Мы видим, что разность между соседними членами постоянна. Для строгого доказательства запишем формулу n-го члена последовательности. Так как это n-ое по счету натуральное число, кратное 7, его можно выразить как $a_n = 7n$. Тогда следующий, (n+1)-й член, равен $a_{n+1} = 7(n+1)$.

Найдем их разность:

$d = a_{n+1} - a_n = 7(n+1) - 7n = 7n + 7 - 7n = 7$.

Поскольку разность $d=7$ является постоянной величиной для любой пары соседних членов, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Если да, то укажите первый член и разность прогрессии

Так как мы доказали, что последовательность является арифметической прогрессией, мы можем указать ее основные параметры.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это первое натуральное число, кратное 7. Таким образом, $a_1 = 7$.

Разность прогрессии ($d$) — это постоянная разность между последующим и предыдущим членами, которую мы вычислили ранее. Таким образом, $d = 7$.

Ответ: Да, эта последовательность является арифметической прогрессией. Её первый член $a_1 = 7$, а разность $d = 7$.

4 Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{12} = -40$, $a_{18} = -22$.

Для нахождения формулы $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ необходимо определить её первый член $a_1$ и разность $d$. Общая формула имеет вид: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
По условию нам даны два члена прогрессии: $a_{12} = -40$ и $a_{18} = -22$.
Запишем для них выражения, используя общую формулу:
$a_{12} = a_1 + d(12-1) \implies a_1 + 11d = -40$
$a_{18} = a_1 + d(18-1) \implies a_1 + 17d = -22$
Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} a_1 + 11d = -40 \\ a_1 + 17d = -22 \end{cases}$
Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 17d) - (a_1 + 11d) = -22 - (-40)$
$a_1 + 17d - a_1 - 11d = -22 + 40$
$6d = 18$
$d = \frac{18}{6} = 3$
Теперь, зная разность $d=3$, найдем первый член $a_1$. Для этого подставим значение $d$ в первое уравнение системы:
$a_1 + 11 \cdot 3 = -40$
$a_1 + 33 = -40$
$a_1 = -40 - 33$
$a_1 = -73$
Теперь, когда мы нашли $a_1 = -73$ и $d = 3$, мы можем составить искомую формулу $n$-го члена, подставив эти значения в общую формулу:
$a_n = a_1 + d(n-1)$
$a_n = -73 + 3(n-1)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$a_n = -73 + 3n - 3$
$a_n = 3n - 76$
Ответ: $a_n = 3n - 76$.

5 Для прогрессии, приведённой в задании 4, найдите сумму всех её отрицательных членов.

В задаче рассматривается арифметическая прогрессия $(a_n)$, первые члены которой, согласно заданию 4, равны $a_1 = -38$ и $a_2 = -34$.

Сперва найдем разность прогрессии $d$ и выведем формулу для n-го члена.
Разность: $d = a_2 - a_1 = -34 - (-38) = 4$.
Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = -38 + (n-1) \cdot 4 = -38 + 4n - 4 = 4n - 42$.

Далее определим количество отрицательных членов прогрессии. Для этого нужно найти все натуральные $n$, для которых выполняется неравенство $a_n < 0$:
$4n - 42 < 0$
$4n < 42$
$n < 10.5$
Следовательно, отрицательными являются члены прогрессии с 1-го по 10-й включительно. Всего их 10.

Теперь найдем сумму всех этих отрицательных членов, то есть сумму первых 10 членов прогрессии $S_{10}$. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Нам известны $a_1 = -38$ и $n = 10$. Найдем последний отрицательный член, $a_{10}$:
$a_{10} = 4 \cdot 10 - 42 = 40 - 42 = -2$.

Подставим значения в формулу суммы:
$S_{10} = \frac{-38 + (-2)}{2} \cdot 10 = \frac{-40}{2} \cdot 10 = -20 \cdot 10 = -200$.

Ответ: -200

6 Докажите, что если последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ образует геометрическую прогрессию, то и последовательность $b_1^3, b_2^3, ..., b_n^3, ...$ также образует геометрическую прогрессию.

Пусть последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Согласно определению, формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Рассмотрим новую последовательность, каждый член которой является кубом соответствующего члена исходной последовательности. Обозначим n-й член этой новой последовательности как $c_n$.

$c_n = b_n^3$

Теперь выразим $c_n$ через $b_1$ и $q$, подставив формулу для $b_n$:

$c_n = (b_1 \cdot q^{n-1})^3$

Используя свойства степеней $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ и $(a^k)^m = a^{k \cdot m}$, преобразуем это выражение:

$c_n = b_1^3 \cdot (q^{n-1})^3 = b_1^3 \cdot q^{3(n-1)}$

Полученное выражение можно переписать в следующем виде:

$c_n = (b_1^3) \cdot (q^3)^{n-1}$

Это выражение является формулой n-го члена геометрической прогрессии, у которой:

• первый член равен $b_1^3$
• знаменатель равен $q^3$

Поскольку мы смогли представить n-й член последовательности $b_n^3$ в стандартном виде для n-го члена геометрической прогрессии, это доказывает, что последовательность $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$ также является геометрической прогрессией.

Ответ: Последовательность $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$ также образует геометрическую прогрессию. Ее первый член равен $b_1^3$, а знаменатель равен $q^3$, где $q$ — знаменатель исходной прогрессии.

7 Дана конечная геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $b_1$, если $q = -\frac{1}{3}$, $b_9 = \frac{4}{81}$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.
В данной задаче известны девятый член прогрессии $b_9 = \frac{4}{81}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$. Подставим эти значения в формулу для $n=9$:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$
$\frac{4}{81} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^8$
Вычислим значение выражения $\left(-\frac{1}{3}\right)^8$. Так как показатель степени (8) является чётным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет:
$\left(-\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1^8}{3^8} = \frac{1}{3^8}$
Рассчитаем $3^8$: $3^8 = (3^4)^2 = 81^2 = 6561$.
Следовательно, $\left(-\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1}{6561}$.
Теперь подставим это значение в уравнение, чтобы найти $b_1$:
$\frac{4}{81} = b_1 \cdot \frac{1}{6561}$
Выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{4}{81} \div \frac{1}{6561}$
$b_1 = \frac{4}{81} \cdot \frac{6561}{1}$
$b_1 = \frac{4 \cdot 6561}{81}$
Так как $6561 = 81 \cdot 81$, мы можем сократить дробь:
$b_1 = \frac{4 \cdot 81 \cdot 81}{81} = 4 \cdot 81 = 324$.
Ответ: 324.