Номер 6, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6 Докажите, что если последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ образует геометрическую прогрессию, то и последовательность $b_1^3, b_2^3, ..., b_n^3, ...$ также образует геометрическую прогрессию.

Пусть последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Согласно определению, формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Рассмотрим новую последовательность, каждый член которой является кубом соответствующего члена исходной последовательности. Обозначим n-й член этой новой последовательности как $c_n$.

$c_n = b_n^3$

Теперь выразим $c_n$ через $b_1$ и $q$, подставив формулу для $b_n$:

$c_n = (b_1 \cdot q^{n-1})^3$

Используя свойства степеней $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ и $(a^k)^m = a^{k \cdot m}$, преобразуем это выражение:

$c_n = b_1^3 \cdot (q^{n-1})^3 = b_1^3 \cdot q^{3(n-1)}$

Полученное выражение можно переписать в следующем виде:

$c_n = (b_1^3) \cdot (q^3)^{n-1}$

Это выражение является формулой n-го члена геометрической прогрессии, у которой:

• первый член равен $b_1^3$
• знаменатель равен $q^3$

Поскольку мы смогли представить n-й член последовательности $b_n^3$ в стандартном виде для n-го члена геометрической прогрессии, это доказывает, что последовательность $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$ также является геометрической прогрессией.

Ответ: Последовательность $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$ также образует геометрическую прогрессию. Ее первый член равен $b_1^3$, а знаменатель равен $q^3$, где $q$ — знаменатель исходной прогрессии.