Номер 18.3, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.3 Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 составляют двузначное число (повторения цифр допускаются).

а) Найдите наибольшее число.

б) Найдите наименьшее число, которое кратно 9.

в) Сколько чётных чисел можно составить?

г) Перечислите все числа, которые кратны 8.

а) Чтобы составить наибольшее двузначное число из заданных цифр {0, 1, 4, 8, 9}, нужно выбрать наибольшую возможную цифру для разряда десятков и для разряда единиц. Наибольшая цифра в наборе — это 9. Так как повторения цифр допускаются, мы можем использовать цифру 9 и для десятков, и для единиц.

Наибольшее число: 99.

Ответ: 99.

б) Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Нам нужно найти наименьшее такое двузначное число. Двузначное число не может начинаться с 0, поэтому для первой цифры (разряда десятков) возможны варианты {1, 4, 8, 9}. Для второй цифры (разряда единиц) возможны все цифры {0, 1, 4, 8, 9}.

Чтобы число было наименьшим, нужно выбрать наименьшую возможную первую цифру. Начнём с 1.

Пусть первая цифра равна 1. Тогда для того, чтобы сумма цифр была кратна 9, вторая цифра должна быть 8, так как $1 + 8 = 9$. Получаем число 18. Это наименьшее возможное число, начинающееся на 1, которое кратно 9.

Если бы мы взяли следующую по величине первую цифру, 4, то вторая цифра должна была бы быть 5 ($4+5=9$), но цифры 5 в наборе нет. Следующая сумма, кратная 9, это 18, но $4+x=18$ дает $x=14$, что не является цифрой.

Таким образом, 18 — наименьшее двузначное число из данных цифр, кратное 9.

Ответ: 18.

в) Чётное число должно оканчиваться на чётную цифру. В нашем наборе {0, 1, 4, 8, 9} чётными являются цифры {0, 4, 8}. Таким образом, для разряда единиц есть 3 варианта выбора.

Первая цифра двузначного числа (разряд десятков) не может быть 0. Следовательно, для неё возможны варианты {1, 4, 8, 9}. Таким образом, для разряда десятков есть 4 варианта выбора.

Так как выбор первой и второй цифр независим (повторения разрешены), общее количество чётных двузначных чисел равно произведению количества вариантов для каждого разряда: $4 \text{ (варианта для десятков)} \times 3 \text{ (варианта для единиц)} = 12$.

Ответ: 12.

г) Чтобы найти все числа, кратные 8, нужно перебрать возможные комбинации цифр. Первая цифра может быть 1, 4, 8 или 9. Вторая — 0, 1, 4, 8 или 9.

• Числа, начинающиеся на 1: 10, 11, 14, 18, 19. Ни одно из них не делится на 8.
• Числа, начинающиеся на 4: 40, 41, 44, 48, 49. Из них на 8 делятся 40 ($40 = 8 \times 5$) и 48 ($48 = 8 \times 6$).
• Числа, начинающиеся на 8: 80, 81, 84, 88, 89. Из них на 8 делятся 80 ($80 = 8 \times 10$) и 88 ($88 = 8 \times 11$).
• Числа, начинающиеся на 9: 90, 91, 94, 98, 99. Ни одно из них не делится на 8.

Таким образом, все двузначные числа из данных цифр, которые кратны 8, это 40, 48, 80, 88.

Ответ: 40, 48, 80, 88.