Номер 18.6, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.6 В коридоре три лампочки.

а) Сколько имеется различных способов освещения коридора, включая случай, когда все лампочки не горят?

б) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что лампочки № 1 и 2 горят или не горят одновременно?

в) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что при горящей лампочке № 3 лампочка № 2 не горит?

г) Сколько имеется различных способов освещения коридора, когда горит большинство лампочек?

а) Каждая из трех лампочек может находиться в одном из двух состояний: включена (горит) или выключена (не горит). Состояние одной лампочки не зависит от состояния других.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число различных способов освещения равно произведению числа состояний для каждой лампочки. Таким образом, общее число комбинаций составляет $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

б) Условие, что лампочки № 1 и № 2 горят или не горят одновременно, связывает их состояния. Это означает, что для этой пары лампочек есть только два возможных состояния: обе выключены или обе включены. Фактически, их можно рассматривать как один элемент с двумя состояниями.

Состояние лампочки № 3 остается независимым и может быть любым из двух (включена или выключена). Применяя правило умножения, получаем общее количество способов: $2 \text{ (для пары 1 и 2)} \times 2 \text{ (для лампочки 3)} = 4$.

Ответ: 4

в) Для решения этой задачи разделим все возможные способы освещения на два случая в зависимости от состояния лампочки № 3.

Случай 1: Лампочка № 3 не горит. В этом случае условие «при горящей лампочке № 3 лампочка № 2 не горит» не накладывает никаких ограничений на лампочки № 1 и № 2. Каждая из них может находиться в одном из двух состояний, что дает $2 \times 2 = 4$ возможных способа.

Случай 2: Лампочка № 3 горит. Согласно условию, в этом случае лампочка № 2 обязательно не горит (1 состояние). Лампочка № 1 по-прежнему может быть как включена, так и выключена (2 состояния). Следовательно, в этом случае есть $2 \times 1 = 2$ способа.

Общее количество способов равно сумме способов в обоих случаях: $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

г) Условие «горит большинство лампочек» для трех лампочек означает, что горит больше половины, то есть 2 или 3 лампочки. Рассмотрим эти два случая отдельно.

Случай 1: Горят ровно две лампочки. Нам нужно выбрать, какие именно две из трех лампочек будут гореть. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из 3 по 2: $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$ способа.

Случай 2: Горят все три лампочки. Такая комбинация только одна, что соответствует числу сочетаний из 3 по 3: $\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$ способ.

Общее количество способов, при которых горит большинство лампочек, равно сумме способов из этих двух случаев: $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4