Номер 18.4, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Комбинаторные задачи. Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 18.4, страница 121.

18.4 Для завтрака на кусок белого, чёрного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу. Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака.

б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток?

в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром?

г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на чёрный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака.

Дерево вариантов завтрака строится на основе трёх последовательных выборов: тип хлеба, начинка для бутерброда и напиток.

• Белый хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
• Чёрный хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
• Ржаной хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир

Общее количество вариантов можно найти, перемножив количество опций на каждом шаге: 3 вида хлеба $\times$ 2 вида начинки $\times$ 3 вида напитка = 18 вариантов.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше. Всего существует 18 возможных вариантов завтрака.

б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток?

К молочным напиткам относятся молоко и кефир. Чай не является молочным напитком. Сначала определим, сколько всего существует вариантов бутербродов (хлеб + начинка).
Количество вариантов хлеба: 3 (белый, чёрный, ржаной).
Количество вариантов начинки: 2 (сыр, колбаса).
Количество вариантов бутербродов: $3 \times 2 = 6$.
Для каждого из 6 вариантов бутерброда можно выбрать один из 2 молочных напитков (молоко или кефир).
Следовательно, общее количество случаев, когда будет выбран молочный напиток, равно:
$6 \text{ (вариантов бутерброда)} \times 2 \text{ (молочных напитка)} = 12$.

Ответ: В 12 случаях.

в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром?

Предположим, что все 18 вариантов завтрака равновероятны.
1. Найдем вероятность события A: "хлеб будет ржаным".
Количество вариантов с ржаным хлебом: 1 (ржаной хлеб) $\times$ 2 (начинки) $\times$ 3 (напитка) = 6.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{всего исходов}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
2. Найдем вероятность события B: "бутерброд будет с сыром".
Количество вариантов с сыром: 3 (вида хлеба) $\times$ 1 (сыр) $\times$ 3 (напитка) = 9.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{всего исходов}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
3. Сравним вероятности: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
Следовательно, событие "бутерброд будет с сыром" более вероятно.

Ответ: Более вероятно, что бутерброд будет с сыром.

г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на чёрный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?

Введем новые ограничения:
1. Сыр не кладут на чёрный хлеб. Это означает, что из дерева вариантов исчезает ветка "Чёрный хлеб -> Сыр" и все три ее подветки (с чаем, молоком и кефиром). Количество вариантов уменьшается на 3.
2. Колбасу не запивают кефиром. Это означает, что для каждой ветки "Колбаса" (для белого, чёрного и ржаного хлеба) исчезает подветка "Кефир". Количество вариантов уменьшается еще на 3 (по одному для каждого вида хлеба).

Общее количество исключенных вариантов: $3 + 3 = 6$.
Новое общее количество вариантов: $18 - 6 = 12$.

Новое дерево вариантов будет выглядеть так:

• Белый хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
• Чёрный хлеб
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
• Ржаной хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко

Ответ: Из ветки "Чёрный хлеб" будет удалена подветка "Сыр" со всеми последующими выборами напитков. Из каждой ветки "Колбаса" будет удалена подветка "Кефир". Общее количество вариантов завтрака уменьшится с 18 до 12.