Номер 8, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8 Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $\sqrt{3}, -1, \frac{1}{\sqrt{3}}, \dots$

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — число членов.

В данной прогрессии $\sqrt{3}, -1, \frac{1}{\sqrt{3}}, \dots$ имеем:

1. Найдём первый член $b_1$

Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$.

2. Найдём знаменатель прогрессии $q$

Знаменатель $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$

3. Вычислим сумму первых пяти членов $S_5$

Подставим значения $b_1 = \sqrt{3}$, $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $n=5$ в формулу суммы.

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{3}((-\frac{1}{\sqrt{3}})^5 - 1)}{-\frac{1}{\sqrt{3}} - 1}$

Сначала вычислим $q^5$:

$q^5 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = -(\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = -\frac{1}{(\sqrt{3})^5} = -\frac{1}{(\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

Теперь подставим это значение в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{\sqrt{3}(-\frac{1}{9\sqrt{3}} - 1)}{-\frac{1}{\sqrt{3}} - 1}$

Упростим выражение, вынеся знак минус в числителе и знаменателе за скобки:

$S_5 = \frac{\sqrt{3} \cdot -(\frac{1}{9\sqrt{3}} + 1)}{-(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)} = \frac{\sqrt{3}(\frac{1 + 9\sqrt{3}}{9\sqrt{3}})}{(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}})}$

Разделим дроби:

$S_5 = \sqrt{3} \cdot \frac{1 + 9\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (1 + 9\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot (1 + \sqrt{3})}$

Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$S_5 = \frac{\sqrt{3}(1 + 9\sqrt{3})}{9(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 9 \cdot 3}{9(1 + \sqrt{3})} = \frac{27 + \sqrt{3}}{9(1 + \sqrt{3})}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 - \sqrt{3})$:

$S_5 = \frac{(27 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{9(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{27 - 27\sqrt{3} + \sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{9(1^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{27 - 26\sqrt{3} - 3}{9(1 - 3)}$

$S_5 = \frac{24 - 26\sqrt{3}}{9(-2)} = \frac{24 - 26\sqrt{3}}{-18}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на -2:

$S_5 = \frac{24/(-2) - 26\sqrt{3}/(-2)}{-18/(-2)} = \frac{-12 + 13\sqrt{3}}{9} = \frac{13\sqrt{3} - 12}{9}$

Ответ: $\frac{13\sqrt{3} - 12}{9}$