Номер 3, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 7. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

Выясните, является ли она арифметической прогрессией

По условию, дана возрастающая последовательность, состоящая из всех натуральных чисел, кратных 7. Натуральные числа — это 1, 2, 3, ... . Следовательно, членами нашей последовательности будут числа, которые делятся на 7 без остатка.

Запишем первые несколько членов этой последовательности, обозначив ее $(a_n)$:

$a_1 = 7 \cdot 1 = 7$
$a_2 = 7 \cdot 2 = 14$
$a_3 = 7 \cdot 3 = 21$
$a_4 = 7 \cdot 4 = 28$
и так далее.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической, найдем разность между соседними членами.

$a_2 - a_1 = 14 - 7 = 7$
$a_3 - a_2 = 21 - 14 = 7$
$a_4 - a_3 = 28 - 21 = 7$

Мы видим, что разность между соседними членами постоянна. Для строгого доказательства запишем формулу n-го члена последовательности. Так как это n-ое по счету натуральное число, кратное 7, его можно выразить как $a_n = 7n$. Тогда следующий, (n+1)-й член, равен $a_{n+1} = 7(n+1)$.

Найдем их разность:

$d = a_{n+1} - a_n = 7(n+1) - 7n = 7n + 7 - 7n = 7$.

Поскольку разность $d=7$ является постоянной величиной для любой пары соседних членов, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Если да, то укажите первый член и разность прогрессии

Так как мы доказали, что последовательность является арифметической прогрессией, мы можем указать ее основные параметры.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это первое натуральное число, кратное 7. Таким образом, $a_1 = 7$.

Разность прогрессии ($d$) — это постоянная разность между последующим и предыдущим членами, которую мы вычислили ранее. Таким образом, $d = 7$.

Ответ: Да, эта последовательность является арифметической прогрессией. Её первый член $a_1 = 7$, а разность $d = 7$.