Номер 6, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Докажите, что если последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ образует геометрическую прогрессию, то и последовательность $b_1^4, b_2^4, ..., b_n^4, ...$ также образует геометрическую прогрессию.

Пусть последовательность $b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$ является геометрической прогрессией. По определению геометрической прогрессии, это означает, что для любого натурального номера $n$ существует такое постоянное число $q$ (знаменатель прогрессии), что выполняется равенство:

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Отсюда следует, что отношение любого члена прогрессии (начиная со второго) к предыдущему члену постоянно и равно $q$ (при условии, что $b_n \neq 0$):

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Теперь рассмотрим новую последовательность, члены которой равны четвертым степеням членов исходной последовательности: $b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$. Обозначим члены этой новой последовательности как $c_n = b_n^4$.

Чтобы доказать, что последовательность $c_n$ также является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена $c_{n+1}$ к предыдущему члену $c_n$ является постоянной величиной.

Найдем это отношение:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}^4}{b_n^4}$

Используя свойство степеней $\frac{a^k}{b^k} = (\frac{a}{b})^k$, преобразуем выражение:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^4$

Поскольку мы знаем, что $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, подставим это значение в полученное равенство:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = q^4$

Так как $q$ — это постоянное число (знаменатель исходной прогрессии), то и его четвертая степень $q^4$ также является постоянной величиной.

Таким образом, мы доказали, что отношение любого члена последовательности $c_n$ к предыдущему является постоянным и равно $q^4$. Это по определению означает, что последовательность $b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$ является геометрической прогрессией с первым членом $c_1 = b_1^4$ и знаменателем $q^4$.

Ответ: Утверждение доказано. Если последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то последовательность $b_n^4$ также является геометрической прогрессией со знаменателем $q^4$.