Номер 7, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7 Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $b_1$, если $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$,

$b_6 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.

В условии задачи даны шестой член прогрессии $b_6 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и знаменатель $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим эти значения в формулу для $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим известные числовые значения в уравнение:

$-\frac{1}{\sqrt{3}} = b_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^5$

Прежде чем решать уравнение относительно $b_1$, упростим выражение для знаменателя $q$. Заметим, что $3 = (\sqrt{3})^2$, поэтому $q$ можно записать в виде:

$q = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь возведем $q$ в пятую степень:

$q^5 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^5 = \frac{1^5}{(\sqrt{3})^5} = \frac{1}{(\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{((\sqrt{3})^2)^2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3^2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{9\sqrt{3}}$

Подставим упрощенное значение $q^5$ обратно в уравнение для $b_6$:

$-\frac{1}{\sqrt{3}} = b_1 \cdot \frac{1}{9\sqrt{3}}$

Чтобы найти $b_1$, умножим обе части уравнения на $9\sqrt{3}$:

$b_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 9\sqrt{3}$

Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$b_1 = -9$

Ответ: -9