Номер 10, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10 Найдите трёхзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры сотен вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим искомое трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, $c$ – цифра единиц. Значение этого числа равно $100a + 10b + c$. Поскольку число трёхзначное, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Анализ условий и составление уравнений

Исходя из условий задачи, сформулируем три математических соотношения:

1. Цифры $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию.
Это означает, что отношение последующего члена к предыдущему постоянно. Для трёх членов это эквивалентно свойству $b^2 = a \cdot c$.

2. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Число в обратном порядке это $\overline{cba}$, его значение равно $100c + 10b + a$. Составляем уравнение: $(100a + 10b + c) - 792 = 100c + 10b + a$. Упрощаем его: $100a + c - 792 = 100c + a$ $99a - 99c = 792$ $a - c = \frac{792}{99}$ $a - c = 8$.

3. Если из цифры сотен вычесть 4, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.
Новые цифры: $(a-4), b, c$. По свойству арифметической прогрессии, средний член равен полусумме крайних членов: $b = \frac{(a-4) + c}{2}$ $2b = a + c - 4$.

Решение полученной системы уравнений

Мы имеем систему для определения цифр $a, b, c$:

(1) $b^2 = ac$

(2) $a - c = 8$

(3) $2b = a + c - 4$

Из уравнения (2) выразим $a$: $a = c + 8$. Поскольку $a$ – это цифра от 1 до 9, то $1 \le c+8 \le 9$, что даёт $-7 \le c \le 1$. Так как $c$ – это неотрицательная цифра, то возможные значения для $c$ – это 0 или 1. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $c=0$

Из $a = c + 8$ получаем $a = 8$. Подставляем $a=8$ и $c=0$ в уравнение (3): $2b = 8 + 0 - 4 \implies 2b = 4 \implies b = 2$. Получаем цифры 8, 2, 0. Проверим для них условие (1) (геометрическая прогрессия): $b^2 = 2^2 = 4$. $ac = 8 \cdot 0 = 0$. Так как $4 \ne 0$, эти цифры не образуют геометрическую прогрессию. Этот случай не подходит.

Случай 2: $c=1$

Из $a = c + 8$ получаем $a = 9$. Подставляем $a=9$ и $c=1$ в уравнение (3): $2b = 9 + 1 - 4 \implies 2b = 6 \implies b = 3$. Получаем цифры 9, 3, 1. Проверим для них условие (1): $b^2 = 3^2 = 9$. $ac = 9 \cdot 1 = 9$. Так как $9 = 9$, эти цифры образуют геометрическую прогрессию. Этот случай является решением.

Итоговая проверка

Единственный подходящий набор цифр — $a=9, b=3, c=1$. Искомое число — 931. Выполним полную проверку по всем условиям задачи:

1. Цифры 9, 3, 1. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1/3$. ($3/9 = 1/3$, $1/3 = 1/3$). Верно.

2. $931 - 792 = 139$. Число 139 — это число 931, записанное в обратном порядке. Верно.

3. Новые цифры: $(9-4), 3, 1$, то есть 5, 3, 1. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -2$. ($3-5=-2$, $1-3=-2$). Верно.

Все условия выполнены.

Ответ: 931