Номер 9, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9 Пятый член геометрической прогрессии больше четвёртого на 168, а сумма третьего и четвёртого членов прогрессии равна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель – как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условиям задачи, пятый член прогрессии больше четвёртого на 168, а сумма третьего и четвёртого членов равна -28. Это можно записать в виде системы уравнений:$$ \begin{cases} b_5 - b_4 = 168 \\ b_3 + b_4 = -28 \end{cases} $$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$, используя формулы $b_3 = b_1 q^2$, $b_4 = b_1 q^3$ и $b_5 = b_1 q^4$, и подставим их в систему:$$ \begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q^3 = 168 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 = -28 \end{cases} $$Вынесем общие множители за скобки:$$ \begin{cases} b_1 q^3(q - 1) = 168 \\ b_1 q^2(1 + q) = -28 \end{cases} $$

Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю, то $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$. Это позволяет нам разделить первое уравнение на второе, чтобы найти $q$:$$ \frac{b_1 q^3(q - 1)}{b_1 q^2(1 + q)} = \frac{168}{-28} $$После сокращения дроби в левой части и вычисления значения в правой, получаем:$$ \frac{q(q - 1)}{1 + q} = -6 $$

Решим полученное уравнение относительно $q$:
$q(q - 1) = -6(q + 1)$
$q^2 - q = -6q - 6$
$q^2 + 5q + 6 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно 6, а их сумма равна -5. Следовательно, корни уравнения: $q_1 = -2$ и $q_2 = -3$.

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующее значение первого члена $b_1$, используя второе уравнение системы $b_1 q^2(1 + q) = -28$.

Случай 1: $q = -2$
Подставим это значение в уравнение:
$b_1 (-2)^2(1 + (-2)) = -28$
$b_1 \cdot 4 \cdot (-1) = -28$
$-4b_1 = -28$
$b_1 = 7$

Случай 2: $q = -3$
Подставим это значение в уравнение:
$b_1 (-3)^2(1 + (-3)) = -28$
$b_1 \cdot 9 \cdot (-2) = -28$
$-18b_1 = -28$
$b_1 = \frac{-28}{-18} = \frac{14}{9}$

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии.

Ответ:
1) Первый член $b_1 = 7$ и знаменатель $q = -2$.
2) Первый член $b_1 = \frac{14}{9}$ и знаменатель $q = -3$.