Номер 2, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2 Постройте график последовательности $y_n = \frac{20}{n+2}$

Для построения графика последовательности, заданной формулой $y_n = \frac{20}{n+2}$, необходимо вычислить несколько первых членов этой последовательности. Графиком последовательности является множество точек на координатной плоскости с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — номер члена последовательности (натуральное число, $n=1, 2, 3, \ldots$).

Вычислим значения $y_n$ для нескольких первых натуральных значений $n$, чтобы получить координаты точек для графика:
При $n=1$: $y_1 = \frac{20}{1+2} = \frac{20}{3} \approx 6.67$. Координаты точки: $(1; \frac{20}{3})$.
При $n=2$: $y_2 = \frac{20}{2+2} = \frac{20}{4} = 5$. Координаты точки: $(2; 5)$.
При $n=3$: $y_3 = \frac{20}{3+2} = \frac{20}{5} = 4$. Координаты точки: $(3; 4)$.
При $n=4$: $y_4 = \frac{20}{4+2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33$. Координаты точки: $(4; \frac{10}{3})$.
При $n=8$: $y_8 = \frac{20}{8+2} = \frac{20}{10} = 2$. Координаты точки: $(8; 2)$.
При $n=18$: $y_{18} = \frac{20}{18+2} = \frac{20}{20} = 1$. Координаты точки: $(18; 1)$.

Для построения графика следует нанести эти точки на координатную плоскость. По оси абсцисс (горизонтальной оси) откладываются натуральные числа $n$, а по оси ординат (вертикальной оси) — соответствующие значения $y_n$.

Важно отметить, что точки графика не соединяются линией, так как последовательность определена только для дискретных натуральных значений $n$. Все точки графика лежат на кривой функции $y = \frac{20}{x+2}$ (которая является ветвью гиперболы), но сам график состоит только из этих изолированных точек. С увеличением номера $n$ знаменатель дроби увеличивается, а значение $y_n$ уменьшается, стремясь к нулю. Это означает, что точки графика будут все ниже и ближе подходить к оси абсцисс, но никогда ее не пересекут, так как $y_n > 0$ для любого $n$.

Ответ: Графиком последовательности $y_n = \frac{20}{n+2}$ является множество изолированных точек, расположенных в первой координатной четверти. Координаты этих точек $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число. Первые несколько точек: $(1; \frac{20}{3})$, $(2; 5)$, $(3; 4)$, $(4; \frac{10}{3})$, $(5; \frac{20}{7})$. С ростом $n$ точки графика приближаются к оси абсцисс.