Номер 17.54, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.54 Сумма трёх чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24. Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Обозначим три числа, составляющие конечную арифметическую прогрессию, как $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 24. Составим и решим уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 24$

$3a = 24$

$a = 8$

Таким образом, второй член арифметической прогрессии равен 8. Сама последовательность имеет вид: $8 - d, 8, 8 + d$.

Далее, по условию, если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Первое число при этом не изменяется. Новая последовательность чисел будет выглядеть так:

$b_1 = 8 - d$

$b_2 = 8 + 1 = 9$

$b_3 = (8 + d) + 14 = 22 + d$

Для членов геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим полученные выражения в это равенство:

$9^2 = (8 - d)(22 + d)$

Решим это уравнение относительно $d$:

$81 = 176 + 8d - 22d - d^2$

$81 = 176 - 14d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 14d + 81 - 176 = 0$

$d^2 + 14d - 95 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-95) = 196 + 380 = 576$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Теперь найдем два возможных значения для разности $d$:

$d_1 = \frac{-14 + 24}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$d_2 = \frac{-14 - 24}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

Условию задачи удовлетворяют два набора чисел, в зависимости от значения $d$.

1. При $d = 5$ исходные числа равны:

$a_1 = 8 - 5 = 3$

$a_2 = 8$

$a_3 = 8 + 5 = 13$

Получаем набор чисел: 3, 8, 13. Проверка: их сумма $3+8+13=24$. Новые числа $3, 8+1=9, 13+14=27$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3.

2. При $d = -19$ исходные числа равны:

$a_1 = 8 - (-19) = 27$

$a_2 = 8$

$a_3 = 8 + (-19) = -11$

Получаем набор чисел: 27, 8, -11. Проверка: их сумма $27+8+(-11)=24$. Новые числа $27, 8+1=9, -11+14=3$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $1/3$.

Ответ: 3, 8, 13 или 27, 8, -11.