Номер 17.52, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.52 Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвёртый — 8 к. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Сколько денег получил богач

По условию задачи, богач ежедневно в течение 30 дней получал по 100 тысяч рублей. Чтобы рассчитать общую полученную сумму, необходимо умножить ежедневный доход на количество дней:

$100\ 000 \text{ руб./день} \times 30 \text{ дней} = 3\ 000\ 000 \text{ руб.}$

Ответ: богач получил 3 000 000 рублей.

Сколько он отдал

Суммы, которые богач отдавал ежедневно, образуют геометрическую прогрессию: 1 к., 2 к., 4 к., 8 к. и так далее. Нам нужно найти сумму первых 30 членов этой прогрессии.

Параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = 1$ (копейка)
• Знаменатель прогрессии $q = 2$ (каждый день сумма удваивается)
• Количество членов $n = 30$ (дней)

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения в формулу, чтобы найти общую сумму в копейках:

$S_{30} = \frac{1 \cdot (2^{30} - 1)}{2 - 1} = 2^{30} - 1$

Вычислим значение $2^{30}$:

$2^{10} = 1024$

$2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 = 1\ 073\ 741\ 824$

Теперь найдем итоговую сумму в копейках:

$S_{30} = 1\ 073\ 741\ 824 - 1 = 1\ 073\ 741\ 823 \text{ копеек}$

Переведем эту сумму в рубли (в 1 рубле 100 копеек):

$1\ 073\ 741\ 823 \text{ коп.} \div 100 = 10\ 737\ 418,23 \text{ руб.}$

Ответ: богач отдал 10 737 418 рублей 23 копейки.

Кто выиграл от этой сделки

Для того чтобы определить победителя сделки, сравним полученные и отданные богачом суммы:

• Получено: $3\ 000\ 000$ рублей.
• Отдано: $10\ 737\ 418,23$ рублей.

Так как богач отдал значительно больше денег, чем получил, он проиграл в этой сделке. Его чистый убыток составил:

$10\ 737\ 418,23 \text{ руб.} - 3\ 000\ 000 \text{ руб.} = 7\ 737\ 418,23 \text{ руб.}$

Ответ: от сделки выиграл человек, который ее предложил, а богач проиграл, потеряв более 7,7 миллионов рублей.