Номер 17.53, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.53 Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9.

Пусть искомые три числа, составляющие конечную геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим знаменатель этой прогрессии буквой $q$.

Согласно условию, первый член прогрессии $b_1 = 9$. Тогда остальные члены можно выразить через $b_1$ и $q$:
$b_1 = 9$
$b_2 = b_1 \cdot q = 9q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 9q^2$
Таким образом, исходная геометрическая прогрессия имеет вид: $9, 9q, 9q^2$.

По условию, если последнее число ($b_3$) уменьшить на 16, то новая последовательность чисел $9, 9q, 9q^2 - 16$ будет являться конечной арифметической прогрессией.

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Для нашей новой последовательности это означает, что второй член $9q$ равен среднему арифметическому первого ($9$) и третьего ($9q^2 - 16$) членов:
$9q = \frac{9 + (9q^2 - 16)}{2}$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $q$. Сначала умножим обе части на 2:
$18q = 9 + 9q^2 - 16$
Упростим правую часть:
$18q = 9q^2 - 7$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$9q^2 - 18q - 7 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 324 + 252 = 576$
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
$q_1 = \frac{-(-18) + 24}{2 \cdot 9} = \frac{18 + 24}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$
$q_2 = \frac{-(-18) - 24}{2 \cdot 9} = \frac{18 - 24}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя $q$. Следовательно, существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Найдем два последних числа для каждого из случаев.

Случай 1: $q = \frac{7}{3}$
Находим второй и третий члены исходной геометрической прогрессии:
Второй член: $b_2 = 9 \cdot q = 9 \cdot \frac{7}{3} = 21$.
Третий член: $b_3 = 9 \cdot q^2 = 9 \cdot (\frac{7}{3})^2 = 9 \cdot \frac{49}{9} = 49$.
В этом случае два последних числа равны 21 и 49.

Случай 2: $q = -\frac{1}{3}$
Находим второй и третий члены исходной геометрической прогрессии:
Второй член: $b_2 = 9 \cdot q = 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = -3$.
Третий член: $b_3 = 9 \cdot q^2 = 9 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1$.
В этом случае два последних числа равны -3 и 1.

Ответ: 21 и 49; или -3 и 1.