Номер 17.55, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.55 Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.

Пусть первый член исходной геометрической прогрессии равен $b_1$, а её знаменатель равен $q$. Тогда первые три члена прогрессии имеют вид: $b_1$, $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$.

По условию, сумма первых трёх членов равна 91. Составим первое уравнение:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 91$Вынесем $b_1$ за скобки:$b_1(1 + q + q^2) = 91$ (1)

Далее, к этим трём членам прибавляют соответственно числа 25, 27 и 1. Получаются новые числа:$a_1 = b_1 + 25$$a_2 = b_2 + 27 = b_1q + 27$$a_3 = b_3 + 1 = b_1q^2 + 1$Эти три числа являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Для любой арифметической прогрессии справедливо свойство: каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. То есть, $2a_2 = a_1 + a_3$. Составим второе уравнение:$2(b_1q + 27) = (b_1 + 25) + (b_1q^2 + 1)$$2b_1q + 54 = b_1 + b_1q^2 + 26$Перенесём члены с $b_1$ в одну сторону, а свободные члены в другую:$54 - 26 = b_1 + b_1q^2 - 2b_1q$$28 = b_1(1 - 2q + q^2)$$28 = b_1(q-1)^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
1) $b_1(1 + q + q^2) = 91$
2) $b_1(q-1)^2 = 28$
Из обоих уравнений выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{91}{1 + q + q^2}$
$b_1 = \frac{28}{(q-1)^2}$
Приравняем правые части:$\frac{91}{1 + q + q^2} = \frac{28}{(q-1)^2}$

Разделим обе части уравнения на 7 (так как $91 = 13 \cdot 7$ и $28 = 4 \cdot 7$):$\frac{13}{1 + q + q^2} = \frac{4}{(q-1)^2}$Воспользуемся свойством пропорции:$13(q-1)^2 = 4(1 + q + q^2)$$13(q^2 - 2q + 1) = 4 + 4q + 4q^2$$13q^2 - 26q + 13 = 4q^2 + 4q + 4$Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:$9q^2 - 30q + 9 = 0$Разделим уравнение на 3:$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.Корни уравнения:$q_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Рассмотрим оба возможных случая.
Случай 1: $q = 3$.Найдём $b_1$ из уравнения (2):$b_1 = \frac{28}{(3-1)^2} = \frac{28}{2^2} = \frac{28}{4} = 7$.Теперь найдём седьмой член этой геометрической прогрессии $b_7 = b_1q^6$:$b_7 = 7 \cdot 3^6 = 7 \cdot 729 = 5103$.По условию, седьмой член должен быть меньше 1000. В данном случае $5103 > 1000$, следовательно, это решение не подходит.

Случай 2: $q = \frac{1}{3}$.Найдём $b_1$ из уравнения (2):$b_1 = \frac{28}{(\frac{1}{3}-1)^2} = \frac{28}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{28}{\frac{4}{9}} = 28 \cdot \frac{9}{4} = 7 \cdot 9 = 63$.Теперь найдём седьмой член этой геометрической прогрессии $b_7 = b_1q^6$:$b_7 = 63 \cdot (\frac{1}{3})^6 = 63 \cdot \frac{1}{729} = \frac{63}{729}$.Сократим дробь. Так как $63 = 7 \cdot 9$ и $729 = 81 \cdot 9$:$b_7 = \frac{7 \cdot 9}{81 \cdot 9} = \frac{7}{81}$.Проверим условие: $b_7 < 1000$.$\frac{7}{81} < 1$, что, очевидно, меньше 1000. Следовательно, это решение подходит.

Ответ: $\frac{7}{81}$