Номер 17.50, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.50 Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей чётное число членов, отношение суммы членов, стоящих на чётных местах, к сумме членов, стоящих на нечётных местах, равно знаменателю прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_n$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. По условию, число членов в прогрессии чётное. Обозначим это число как $n=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда последовательность членов прогрессии имеет вид: $b_1, b_2, b_3, \dots, b_{2k}$.

Обозначим сумму членов, стоящих на нечётных местах, как $S_{нечёт}$: $S_{нечёт} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1}$

Обозначим сумму членов, стоящих на чётных местах, как $S_{чёт}$: $S_{чёт} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2k}$

Согласно определению геометрической прогрессии, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$. Это означает, что для любого натурального $m$: $b_{m} = b_{m-1} \cdot q$. Применим это свойство к членам, стоящим на чётных местах:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_4 = b_3 \cdot q$

$b_6 = b_5 \cdot q$

...

$b_{2k} = b_{2k-1} \cdot q$

Теперь подставим эти выражения в формулу для суммы членов, стоящих на чётных местах: $S_{чёт} = (b_1 \cdot q) + (b_3 \cdot q) + (b_5 \cdot q) + \dots + (b_{2k-1} \cdot q)$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки: $S_{чёт} = q \cdot (b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1})$

Выражение в скобках в точности равно сумме членов, стоящих на нечётных местах, то есть $S_{нечёт}$. Следовательно, мы можем записать: $S_{чёт} = q \cdot S_{нечёт}$

Найдём отношение суммы членов, стоящих на чётных местах, к сумме членов, стоящих на нечётных местах. Для этого разделим обе части полученного равенства на $S_{нечёт}$ (при условии, что $S_{нечёт} \neq 0$): $\frac{S_{чёт}}{S_{нечёт}} = \frac{q \cdot S_{нечёт}}{S_{нечёт}}$

Сократив дробь, получаем: $\frac{S_{чёт}}{S_{нечёт}} = q$

Таким образом, доказано, что искомое отношение равно знаменателю прогрессии $q$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.