Номер 17.44, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.44 Разность между вторым и третьим членами геометрической прогрессии равна 18, а их сумма 54. Определите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда второй член прогрессии $b_2 = b_1 q$, а третий член $b_3 = b_1 q^2$.

Согласно условию задачи, сумма второго и третьего членов равна 54: $$b_2 + b_3 = 54$$ $$b_1 q + b_1 q^2 = 54$$ $$b_1 q (1 + q) = 54 \quad (1)$$

Также, разность между вторым и третьим членами равна 18. Это условие можно трактовать двояко, поскольку не указано, из какого члена какой вычитается. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $b_3 - b_2 = 18$

Запишем второе уравнение для этого случая: $$b_1 q^2 - b_1 q = 18$$ $$b_1 q (q - 1) = 18 \quad (2)$$ Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Разделим уравнение (1) на уравнение (2), при условии, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$: $$\frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 q (q - 1)} = \frac{54}{18}$$ $$\frac{1 + q}{q - 1} = 3$$ $1 + q = 3(q - 1)$
$1 + q = 3q - 3$
$2q = 4$
$q = 2$
Теперь подставим найденное значение $q$ в уравнение (2), чтобы найти $b_1$:
$b_1 \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 18$
$b_1 \cdot 2 \cdot 1 = 18$
$2b_1 = 18$
$b_1 = 9$
Таким образом, первая пара решений: $b_1 = 9, q = 2$.

Случай 2: $b_2 - b_3 = 18$

Запишем второе уравнение для этого случая: $$b_1 q - b_1 q^2 = 18$$ $$b_1 q (1 - q) = 18 \quad (3)$$ Теперь решим систему из уравнений (1) и (3). Разделим уравнение (1) на уравнение (3), при условии, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$: $$\frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 q (1 - q)} = \frac{54}{18}$$ $$\frac{1 + q}{1 - q} = 3$$ $1 + q = 3(1 - q)$
$1 + q = 3 - 3q$
$4q = 2$
$q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Подставим найденное значение $q$ в уравнение (3), чтобы найти $b_1$:
$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 18$
$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 18$
$b_1 \cdot \frac{1}{4} = 18$
$b_1 = 18 \cdot 4 = 72$
Таким образом, вторая пара решений: $b_1 = 72, q = \frac{1}{2}$.

Задача имеет два возможных решения, так как условие о разности можно истолковать двумя способами.

Ответ: первый член равен 9 и знаменатель равен 2, или первый член равен 72 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$.