Номер 17.40, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.40 а) Дана возрастающая геометрическая прогрессия $(b_n)$. Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если $b_1 = \sqrt{3}$, $b_9 = 81 \sqrt{3}$.

б) Дана убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$. Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если $b_1 = 375$, $b_3 = 15$.

а) Дана возрастающая геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой известны первый член $b_1 = \sqrt{3}$ и девятый член $b_9 = 81\sqrt{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения в формулу для $n=9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$81\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot q^8$

Чтобы найти $q$, разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$q^8 = 81$

Поскольку $81 = 3^4$, уравнение можно переписать как $q^8 = 3^4$. Отсюда находим возможные значения $q$:

$q = \pm\sqrt[8]{81} = \pm\sqrt[8]{3^4} = \pm 3^{4/8} = \pm 3^{1/2} = \pm\sqrt{3}$.

По условию, прогрессия является возрастающей. Так как первый член $b_1 = \sqrt{3}$ — положительное число, для возрастания прогрессии ее знаменатель $q$ должен быть больше 1. Сравним полученные значения:

• $q = \sqrt{3} \approx 1.732$, это значение больше 1.
• $q = -\sqrt{3} \approx -1.732$, это значение меньше 1. При таком знаменателе прогрессия будет знакочередующейся, а не возрастающей.

Следовательно, выбираем $q = \sqrt{3}$.

Теперь найдем первые три члена прогрессии:

$b_1 = \sqrt{3}$

$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$

$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = \sqrt{3}$, первые три члена: $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}$.

б) Дана убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой известны первый член $b_1 = 375$ и третий член $b_3 = 15$.

Используем ту же формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}$

$15 = 375 \cdot q^2$

Выразим $q^2$ из этого уравнения:

$q^2 = \frac{15}{375}$

Сократим дробь: $q^2 = \frac{15}{15 \cdot 25} = \frac{1}{25}$.

Из этого уравнения находим возможные значения $q$:

$q = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5}$.

По условию, прогрессия является убывающей. Так как первый член $b_1 = 375$ — положительное число, для убывания прогрессии (когда все ее члены положительны) ее знаменатель $q$ должен находиться в интервале $(0; 1)$. Сравним полученные значения:

• $q = \frac{1}{5}$. Это значение удовлетворяет условию $0 < q < 1$.
• $q = -\frac{1}{5}$. При таком знаменателе прогрессия будет знакочередующейся ($375, -75, 15, \dots$), а не убывающей.

Следовательно, выбираем $q = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем первые три члена прогрессии:

$b_1 = 375$

$b_2 = b_1 \cdot q = 375 \cdot \frac{1}{5} = 75$

$b_3 = b_2 \cdot q = 75 \cdot \frac{1}{5} = 15$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$, первые три члена: $375, 75, 15$.