Номер 17.47, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Прогрессии. ч. 2 - номер 17.47, страница 115.

17.47 Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии ($b_n$):

а) $b_1 = 3, q = \sqrt{2};$

в) $b_1 = 9\sqrt{3}, q = \frac{1}{\sqrt{3}};$

б) $b_1 = \sqrt{5}, q = \sqrt{6};$

г) $b_1 = \sqrt{12}, q = (\sqrt{2})^{-1}.$

Найдите сумму:

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Требуется найти сумму квадратов её первых шести членов: $S = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 + b_5^2 + b_6^2$.

Последовательность, состоящая из квадратов членов исходной прогрессии, то есть $c_n = b_n^2$, также является геометрической прогрессией. Общий член исходной прогрессии равен $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Тогда общий член новой последовательности равен $c_n = (b_1 \cdot q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot (q^2)^{n-1}$.

Это формула общего члена геометрической прогрессии, у которой первый член $c_1 = b_1^2$, а знаменатель $q' = q^2$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{c_1(q'^n - 1)}{q' - 1}$ (при $q' \neq 1$). Для нашего случая $n=6$, поэтому мы будем искать сумму $S_6 = \frac{c_1(q'^6 - 1)}{q' - 1}$.

а) Дано: $b_1 = 3, q = \sqrt{2}$.

Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = 3^2 = 9$; знаменатель $q' = q^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Вычисляем сумму первых шести членов: $S_6 = \frac{c_1(q'^6 - 1)}{q' - 1} = \frac{9(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{9(64 - 1)}{1} = 9 \cdot 63 = 567$.

Ответ: 567.

б) Дано: $b_1 = \sqrt{5}, q = \sqrt{6}$.

Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$; знаменатель $q' = q^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.

Вычисляем сумму: $S_6 = \frac{c_1(q'^6 - 1)}{q' - 1} = \frac{5(6^6 - 1)}{6 - 1} = \frac{5(6^6 - 1)}{5} = 6^6 - 1$. $6^6 = 46656$. $S_6 = 46656 - 1 = 46655$.

Ответ: 46655.

в) Дано: $b_1 = 9\sqrt{3}, q = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = (9\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243$; знаменатель $q' = q^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$.

Поскольку знаменатель $q' < 1$, для удобства используем формулу $S_n = \frac{c_1(1 - q'^n)}{1 - q'}$. $S_6 = \frac{243(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{243(1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{243 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}$. Учитывая, что $729 = 3 \cdot 243$, имеем: $S_6 = \frac{\frac{728}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{728}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{728}{2} = 364$.

Ответ: 364.

г) Дано: $b_1 = \sqrt{12}, q = (\sqrt{2})^{-1}$.

Упростим $q = (\sqrt{2})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = (\sqrt{12})^2 = 12$; знаменатель $q' = q^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

Вычисляем сумму, используя формулу для $q' < 1$: $S_6 = \frac{c_1(1 - q'^6)}{1 - q'} = \frac{12(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{12(\frac{63}{64})}{\frac{1}{2}}$. $S_6 = 12 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 24 \cdot \frac{63}{64}$. Сократим дробь на 8: $S_6 = \frac{3 \cdot 63}{8} = \frac{189}{8}$.

Ответ: $\frac{189}{8}$.